Карточки и делимость
На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные числа, делящиеся на 3 (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-45$.
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно утроенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно пять красных карточек?
б) Может ли на столе лежать ровно 100 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные числа, делящиеся на 3 (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно утроенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно пять красных карточек? б) Может ли на столе лежать ровно 100 красных карточек? в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе? | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Обозначьте через $b$ количество синих карточек, а через $r$ — количество красных. Какие числа являются наибольшими на карточках каждого цвета?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Число $r$ должно быть положительным и делиться на 5. Среди чисел, кратных 3 и больших $-45$, не превосходящих $3b$, всего $b+15$ чисел. Среди чисел, кратных 5 и больших $-45$, не превосходящих $r$, всего $\dfrac{r}{5}+9$ чисел.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получите неравенства $r\leq b+15$ и $b\leq \dfrac{r}{5}+9$. Из них следует $r\leq 30$. При $r=30$ подходит $b=15$; например, на синих карточках можно записать числа от $-40$ до $30$, кратные 5, а на красных — числа от $-42$ до $45$, кратные 3.