Задания № 19, 20 · ЕГЭ

Признаки делимости

Правила проверки делимости чисел без выполнения деления

6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Признаки делимости позволяют быстро определить, делится ли число нацело на заданное число, не выполняя письменное деление. Главные приёмы связаны с последней цифрой, последними цифрами и суммой цифр числа.

Что такое делимость

Число $a$ делится на натуральное число $b$, если существует целое число $k$, такое что $a=b\cdot k$. В этом случае $b$ называют делителем числа $a$, а $a$ — кратным числа $b$. При делении $a$ на $b$ остаток равен нулю.

Признак делимости

Признак делимости — правило, по которому можно определить делимость числа на другое число, рассматривая его цифры или отдельные части записи.

Признаки применяют к натуральным и целым числам. Знак числа не влияет на делимость: если положительное число делится на $b$, то и противоположное ему число делится на $b$.

Что важно помнить

Если число делится на несколько взаимно простых множителей, то оно делится и на их произведение. Например, делимость на $2$ и на $3$ одновременно означает делимость на $6$.

Основные признаки делимости

Для проверки делимости достаточно посмотреть на последнюю цифру или вычислить сумму цифр. Эти правила особенно часто встречаются в заданиях на числа и выражения.

Делитель	Признак делимости	Пример
2	Последняя цифра — $0,2,4,6$ или $8$.	$438$ делится на $2$, потому что оканчивается на $8$.
5	Последняя цифра — $0$ или $5$.	$1275$ делится на $5$.
10	Последняя цифра — $0$.	$6840$ делится на $10$.
3	Сумма цифр делится на $3$.	$714$: $7+1+4=12$, а $12$ делится на $3$.
9	Сумма цифр делится на $9$.	$729$: $7+2+9=18$, а $18$ делится на $9$.
4	Число, образованное двумя последними цифрами, делится на $4$.	$2316$: $16$ делится на $4$.
8	Число, образованное тремя последними цифрами, делится на $8$.	$5416$: $416$ делится на $8$.
11	Разность сумм цифр на нечётных и чётных местах делится на $11$ или равна нулю.	$2728$: $(2+2)-(7+8)=-11$.

Признаки для $2$, $5$ и $10$ связаны с последней цифрой, потому что $10$ оканчивается нулём. Признаки для $3$ и $9$ связаны с суммой цифр числа. Подробные частные случаи разобраны на страницах признаков делимости на 2, 5 и 10, признаков делимости на 3 и 9, признаков делимости на 4 и 8 и признака делимости на 11.

\[a_1a_2\ldots a_n\text{ делится на }3\text{ или }9\Longleftrightarrow a_1+a_2+\ldots+a_n\text{ делится на }3\text{ или }9.\]

Признак делимости на составное число

Если $m=p\cdot q$, где $p$ и $q$ взаимно просты, то число делится на $m$ тогда и только тогда, когда оно делится одновременно на $p$ и на $q$. Например, для проверки делимости на $6$ проверяют делимость на $2$ и на $3.

Как применять несколько признаков

В заданиях может требоваться найти цифру, определить количество подходящих чисел или проверить делимость на большое число. Тогда число раскладывают на множители и применяют несколько простых признаков.

Разложите делитель на простые множители: например, $12=3\cdot4$ или $18=2\cdot9$.
Проверьте каждое условие отдельно.
Учтите, что повторяющийся множитель требует более сильной проверки: для делимости на $12$ нужны делимость на $3$ и на $4.
Если ищется цифра, составьте уравнение или систему условий для этой цифры.

Например, число делится на $15$, если оно делится одновременно на $3$ и на $5. Значит, последняя цифра должна быть$0$или$5$, а сумма всех цифр — делиться на$3$.

Проверь себя

Какое из чисел делится на $9$?

Исправление к проверке

В варианте $6306$ сумма цифр равна $15$, поэтому он не делится на $9$. Правильный ответ в вопросе — $7209$. При решении всегда складывайте цифры аккуратно.

Разобранный пример с неизвестной цифрой

№

Пример

Найдём все цифры $x$, при которых число $4x72$ делится на $6$.

Число $6=2\cdot3$, причём $2$ и $3$ взаимно просты. Поэтому число должно одновременно делиться на $2$ и на $3$.

Последняя цифра числа $4x72$ равна $2$, поэтому число автоматически делится на $2$.

$\displaystyle 4x72\text{ делится на }2$

Для делимости на $3$ сумма цифр должна делиться на $3.

4+x+7+2=x+13

Число $x+13$ должно быть кратно $3$. Так как $13\equiv1\pmod 3$, получаем $x+1\equiv0\pmod3$.

$\displaystyle x\equiv2\pmod3$

Среди цифр от $0$ до $9$ этому условию удовлетворяют $2,5,8$.

$\displaystyle x\in\{2,5,8\}$

Ответ: $x=2,5,8$. Получаются числа $4272$, $4572$ и $4872$. Каждое из них чётное, а сумма цифр равна соответственно $15$, $18$ и $21$, то есть делится на $3$.

Показать альтернативную проверку Проверка

Можно проверить каждое найденное число непосредственно: $4272:6=712$, $4572:6=762$, $4872:6=812$. Во всех случаях частное целое.

Частые ошибки и полезные приёмы

Частые ошибки

1. Для делимости на $3$ или $9$ смотрят только на последнюю цифру. Нужно складывать все цифры. 2. Путают признаки: на $4$ проверяют две последние цифры, а на $8$ — три. 3. Считают, что делимость на $6$ означает делимость только на $3. Нужны оба условия: на$2$и на$3. 4. Забывают, что ноль — чётная цифра и число, оканчивающееся на $0$, делится на $2$, $5$ и $10$.

Быстрый приём

Если сумма цифр получилась большой, складывайте её цифры ещё раз. Например, для $58347$: $5+8+3+4+7=27$, затем $2+7=9$. Поэтому число делится на $9$ и на $3$.

Для делимости на $12$ удобно проверить делимость на $3$ и на $4; для$18$— на$2$и на$9; для $30$ — на $3$ и на $10$. Если делитель имеет общие множители, выбирайте разложение внимательно: делимость на $4$ уже включает делимость на $2$, поэтому проверка на $2$ отдельно не добавляет нового условия.

Задания, где требуется использовать сразу несколько правил, продолжайте на странице применение нескольких признаков делимости. Для задач на составление числа по известным цифрам полезна страница составление числа по условию делимости. Общие свойства делимости суммы и разности собраны на странице делимость суммы и разности.

Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · сумма цифр

Какой признак нужен для числа $5832$, чтобы проверить делимость на $9$?

Главное за минуту

Главное

На $2$ делятся числа с последней цифрой $0,2,4,6,8$; на $5$ — с последней цифрой $0$ или $5; на$10$— с последней цифрой$0$.
На $3$ и $9$ число делится тогда, когда на соответствующий делитель делится сумма его цифр.
Для $4$ проверяют две последние цифры, для $8$ — три последние цифры, для $11$ используют разность сумм цифр на нечётных и чётных местах.
Чтобы проверить делимость на составное число, разложите его на взаимно простые множители и примените несколько признаков.
В задачах с неизвестной цифрой сначала выпишите все условия, затем найдите цифры, удовлетворяющие каждому из них.

Делитель	Признак делимости	Пример
2	Последняя цифра — \(0,2,4,6\) или \(8\).	\(438\) делится на \(2\), потому что оканчивается на \(8\).
5	Последняя цифра — \(0\) или \(5\).	\(1275\) делится на \(5\).
10	Последняя цифра — \(0\).	\(6840\) делится на \(10\).
3	Сумма цифр делится на \(3\).	\(714\): \(7+1+4=12\), а \(12\) делится на \(3\).
9	Сумма цифр делится на \(9\).	\(729\): \(7+2+9=18\), а \(18\) делится на \(9\).
4	Число, образованное двумя последними цифрами, делится на \(4\).	\(2316\): \(16\) делится на \(4\).
8	Число, образованное тремя последними цифрами, делится на \(8\).	\(5416\): \(416\) делится на \(8\).
11	Разность сумм цифр на нечётных и чётных местах делится на \(11\) или равна нулю.	\(2728\): \((2+2)-(7+8)=-11\).