Задания № 19, 20 · ЕГЭ

Составление числа по условию делимости

Как подбирать цифры двузначного и трёхзначного числа по признакам делимости

7 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

В задачах на составление числа по условию делимости нужно подобрать неизвестные цифры так, чтобы получившееся число делилось на заданное число. Для решения удобно использовать [[divisibility-rules:признаки делимости]], разрядный состав числа и перебор только тех цифр, которые удовлетворяют условию.

Как записывают число с неизвестными цифрами

Позиция цифры определяет её вклад в число. Например, двузначное число с цифрами $a$ и $b$ записывают как $10a+b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. При этом $a\ne0$, потому что первая цифра двузначного числа не может быть нулём.

\[\overline{ab}=10a+b\]1

Трёхзначное число с цифрами $a$, $b$ и $c$ имеет вид $100a+10b+c$. Здесь $a\ne0$, а $b$ и $c$ могут быть равны нулю. Такая запись основана на [[digit-place-value:разрядном составе числа]].

\[\overline{abc}=100a+10b+c\]2

Цифры и ограничения

Цифры — это числа от $0$ до $9$. Для первой цифры многозначного числа действует ограничение $1\le a\le9$; для остальных цифр — $0\le b,c\le9$. Если в условии сказано, что цифры различны, дополнительно записывают $a\ne b$, $a\ne c$, $b\ne c$.

Основной алгоритм

Сначала определите разрядность числа и обозначьте неизвестные цифры. Затем выберите самый удобный признак делимости. После этого найдите цифры, удовлетворяющие условию, и проверьте дополнительные ограничения: различие цифр, диапазон, чётность или принадлежность числа заданному отрезку.

Запишите число через его цифры: например, $\overline{ab}=10a+b$ или $\overline{abc}=100a+10b+c$.
Укажите допустимые значения цифр: первая цифра от $1$ до $9$, остальные от $0$ до $9.
Примените признак делимости, наиболее простой для данного делителя.
Переберите оставшиеся варианты или выразите одну цифру через другую.
Проверьте все условия и запишите ответ.

Полезные признаки делимости

Число делится на $2$, если его последняя цифра чётная; на $5$ — если последняя цифра $0$ или $5$; на $10$ — если последняя цифра $0$; на $3$ и на $9$ — если сумма его цифр делится соответственно на $3$ или на $9. Число делится на$4$, если число, образованное двумя последними цифрами, делится на$4; на $8$ — если три последние цифры делятся на $8.

\[\overline{abc}\vdots 3\Longleftrightarrow a+b+c\vdots 3\]

\[\overline{abc}\vdots 9\Longleftrightarrow a+b+c\vdots 9\]

Для составных делителей иногда удобно разложить число на взаимно простые множители. Например, делимость на $6$ означает одновременную делимость на $2$ и на $3$, а делимость на $15$ — на $3$ и на $5$. Свойства остатков помогают обосновать такие преобразования; подробнее они разобраны на странице [[remainder-properties:свойства остатка при делении]].

Разбор задачи с трёхзначным числом

Рассмотрим задачу экзаменационного типа: найдите все цифры $x$, при которых число $4x7$ делится на $3$. Здесь $x$ — цифра десятков, а первая и последняя цифры уже известны.

№

Пример

Нужно подобрать цифру $x$ в числе $4x7$, чтобы число делилось на $3.

Используем признак делимости на 3: сумма цифр должна делиться на 3.

$\displaystyle 4+x+7\vdots 3$

Упростим сумму известных цифр.

$\displaystyle 11+x\vdots 3$

Переберём цифры от 0 до 9. Остаток числа $11$ при делении на 3 равен 2, поэтому $x$ должен давать остаток 1.

$\displaystyle x\equiv1\pmod 3$

Среди цифр от 0 до 9 подходят цифры 1, 4 и 7.

$\displaystyle x\in\{1,4,7\}$

Получаем все числа и проверяем их суммы цифр.

$\displaystyle 417:12\vdots3,\quad447:15\vdots3,\quad477:18\vdots3$

Ответ: $x=1,4,7$, а подходящие числа — $417$, $447$ и $477$. Если в условии требовалось найти только цифру, записывают множество значений $\{1,4,7\}$; если требовались числа, перечисляют сами числа.

Проверь себя

Какие цифры $x$ делают число $52x$ кратным 9?

Как выбирать способ решения

Если делитель равен $2$, $5$ или $10$, сразу рассматривайте последнюю цифру. Например, в числе $7x4$ условие делимости на 2 уже выполнено, потому что последняя цифра 4 чётная. Если делитель равен 3 или 9, используйте сумму цифр. Если делитель равен 4 или 8, рассматривайте последние две или три цифры.

Иногда число задано не одной неизвестной цифрой, а несколькими. Например, для числа $\overline{a7b}$, кратного 5, последняя цифра $b$ равна 0 или 5. После этого условие на делимость на 3 или 9 применяется к сумме $a+7+b$.

\[\overline{a7b}\vdots 5\Longleftrightarrow b\in\{0,5\}\]

Если требуется найти наименьшее или наибольшее число, сначала учитывайте значение первой цифры, затем перебирайте остальные цифры в нужном порядке. При дополнительных ограничениях полезно составить таблицу допустимых значений.

Условие	Что проверяем	Пример для числа $\overline{abc}$
Делимость на 2	Последняя цифра чётная	$c\in\{0,2,4,6,8\}$
Делимость на 5	Последняя цифра 0 или 5	$c\in\{0,5\}$
Делимость на 3	Сумма цифр кратна 3	$a+b+c\vdots3$
Делимость на 9	Сумма цифр кратна 9	$a+b+c\vdots9$
Делимость на 4	Последние две цифры кратны 4	$10b+c\vdots4$

Частые ошибки

Не допускайте нуль на первом месте: запись $0ab$ не является трёхзначным числом. Не путайте делимость на 3 и на 9: сумма цифр должна делиться именно на указанный делитель. При делимости на 4 проверяют последние две цифры, а не сумму всех цифр. Если найдено несколько цифр, не останавливайтесь на первом варианте — переберите весь диапазон от 0 до 9.

Как сократить перебор

Сначала применяйте условие, которое сильнее всего ограничивает выбор. Например, при делимости на 10 последняя цифра сразу равна 0; при делимости на 5 остаются только два варианта. Затем проверяйте остальные признаки.

Проверка ответа и дополнительные условия

После получения цифр подставьте каждую из них в исходное число и проверьте делимость непосредственно или по признаку. Это особенно важно, если использовались несколько условий. Если цифры должны быть различными, исключите варианты с повторениями; если число должно быть чётным, проверьте последнюю цифру.

В задачах на [[divisibility-problems:задачи на делимость]] условие может быть записано словами: «число делится на 6», «число кратно 15», «при делении на 7 получается остаток 2». В первом случае объединяют признаки делимости на 2 и 3, во втором — на 3 и 5, а в третьем используют равенство вида $N=7k+2$.

Запомнить

Любое число с неизвестными цифрами сначала превращайте в разрядную запись. Затем переводите делимость в условие на последнюю цифру, последние цифры или сумму цифр. Только после этого перебирайте значения.

Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · Признак делимости на 5

Какие цифры $x$ делают число $38x$ делящимся на 5?

Главное за минуту

Главное

Двузначное число записывают как $10a+b$, трёхзначное — как $100a+10b+c$. Первая цифра не равна нулю.
Для делимости на 2, 5 и 10 смотрят на последнюю цифру; для делимости на 3 и 9 — на сумму цифр; для делимости на 4 и 8 — на последние две или три цифры.
При составном делителе объединяйте признаки его взаимно простых множителей: например, делимость на 6 означает делимость на 2 и на 3.
После нахождения цифр проверьте все варианты и дополнительные условия задачи.
Удобный порядок решения: записать число, применить признак, перебрать цифры, проверить ответ.