Вычисление выражений с дробями
Чтобы вычислить выражение с дробями, действуйте последовательно: определите порядок операций, приведите числа к удобному виду и аккуратно выполните каждое действие. Эта тема продолжает действия с рациональными числами и входит в большую тему вычисления числового выражения.
Порядок действий в выражении
Сначала внимательно прочитайте выражение и расставьте мысленные «слои» вычислений. Порядок действий такой: сначала действия в скобках, затем степени и корни, потом умножение и деление слева направо, последними — сложение и вычитание слева направо. Если скобки вложены, начинают с самых внутренних.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков действий, скобок и, возможно, дробных черт, степеней или корней. Значение выражения — число, которое получается после выполнения всех действий.
Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняются в порядке слева направо. Сложение и вычитание также имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо. Нельзя выполнять действие только потому, что оно записано левее: сначала учитывают приоритет.
Дробная черта действует как скобки: весь числитель делится на весь знаменатель. Например, в записи \(\frac{2+3}{7}\) сначала складывают \(2\) и \(3\), а затем результат делят на \(7\). При преобразовании длинной дроби полезно временно заключать числитель и знаменатель в скобки.
Обыкновенные дроби в вычислениях
Перед сложением или вычитанием обыкновенных дробей приведите их к общему знаменателю. Для умножения перемножьте числители и знаменатели, а затем сократите дробь. Для деления умножьте первую дробь на обратную второй.
В произведении можно сократить множитель числителя одной дроби с множителем знаменателя другой. Так вычисления становятся короче, а вероятность ошибки уменьшается. Сокращать слагаемые в сумме нельзя: например, в \(\frac{2+6}{6}\) число \(6\) нельзя «убрать» только из одного слагаемого.
Смешанное число сначала можно представить в виде неправильной дроби: \(2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\). В конце, если это удобно, неправильную дробь переводят обратно в смешанное число. Отрицательный знак относится ко всей дроби: \(-\frac{3}{5}=\frac{-3}{5}\).
Десятичные дроби и переход между формами
При сложении и вычитании десятичных дробей выравнивают запятые и при необходимости дописывают нули справа. При умножении сначала перемножают числа без запятых, а затем отделяют столько знаков после запятой, сколько их было суммарно в множителях. При делении на десятичную дробь запятую переносят в делимом и делителе на одинаковое число разрядов, превращая делитель в натуральное число.
Для смешанного выражения часто выгодно перевести конечные десятичные дроби в обыкновенные. Например, \(0{,}75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}\), а \(1{,}2=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}\). Выбор формы зависит от ближайшего действия: десятичная запись удобна для сложения с десятичными дробями, обыкновенная — для точного сокращения и деления.
Как удобнее начать вычисление выражения \(\frac{3}{4}+0{,}25\cdot 2\)?
Алгоритм вычисления выражения
- Перепишите выражение без пропусков и проверьте знаки.
- Определите скобки, степени и корни; при необходимости разделите выражение на промежуточные части.
- Выберите удобную форму дробей: обыкновенную или десятичную.
- Выполните умножение и деление слева направо, затем сложение и вычитание.
- После каждого шага сокращайте дробь и проверяйте знак результата.
- Оцените ответ приблизительно: например, сравните его с целым числом или с нулём.
Вычислим \(\left(1\frac{1}{2}-0{,}75\right):\frac{3}{8}+\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{4}\).
Ответ: \(3\frac{1}{2}\). Проверка по оценке: выражение в скобках равно \(0{,}75\), деление на \(0{,}375\) даёт \(2\), а вторая часть равна \(1{,}5\), поэтому итог около \(3{,}5\).
Скобки и отрицательные дроби
Если перед скобками стоит знак «минус», при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри меняются: \(-(a-b)=-a+b\). Если скобки умножаются на число, каждый член внутри скобок умножается на этот множитель. Эти правила особенно важны, когда дробь или десятичное число отрицательны.
1. Складывают числители и знаменатели: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ne\frac{2}{7}\). 2. Забывают, что деление на дробь заменяется умножением на обратную. 3. Выполняют сложение раньше умножения. 4. Переносят запятую только в делимом, а не в обоих числах. 5. Теряют минус перед скобками. 6. Сокращают части суммы или разности, где сокращение недопустимо.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Конечный ответ обычно сокращают, смешанное число записывают в понятной форме, а десятичную дробь — без лишних нулей справа. Если в выражении только положительные числа и сложение, результат не может быть отрицательным.
Связь с другими темами
Для уверенного решения сначала повторите порядок действий и действия с рациональными числами. Если в выражении появляются корни, понадобится тема выражения с квадратными корнями, а при наличии буквенных множителей — одночлен и многочлен. Здесь рассматриваются именно числовые выражения: без переменных и без дополнительных условий на неизвестные.
Проверь себя
Главное
- Соблюдайте порядок: скобки, степени, умножение и деление, сложение и вычитание.
- Для сложения и вычитания обыкновенных дробей нужен общий знаменатель.
- Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.
- В смешанных выражениях выбирайте удобную форму записи дробей и сохраняйте точность.
- В конце сократите результат, проверьте знак и оцените ответ приблизительно.