Действия с рациональными числами
Рациональные числа — это целые числа и дроби, которые можно записать в виде \(\frac{a}{b}\), где \(a\) — целое число, а \(b\ne0\). В этом конспекте разобраны сложение, вычитание, умножение и деление рациональных чисел, а также порядок действий в выражениях.
Рациональные числа и правила знаков
К рациональным числам относятся натуральные и целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, положительные, отрицательные и нулевое число. Перед действиями полезно повторить сравнение рациональных чисел, отрицательные дроби и десятичные дроби.
Рациональное число — число, которое можно представить в виде \(\frac{a}{b}\), где \(a\in\mathbb{Z}\), \(b\in\mathbb{Z}\) и \(b\ne0\). Например, \(5\), \(-\frac{3}{7}\), \(0{,}25\) и \(-1{,}6\) — рациональные числа.
При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают их модули и ставят общий знак. При сложении чисел с разными знаками из большего модуля вычитают меньший и ставят знак числа с большим модулем. При умножении или делении одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.
Подробные случаи удобно сверять со страницей правила знаков при действиях. Важно не путать знак числа и знак действия: в выражении \(7-(-3)\) второй минус относится к отрицательному числу, поэтому вычитание отрицательного числа превращается в сложение.
Сложение и вычитание
Чтобы сложить обыкновенные дроби, сначала приводят их к общему знаменателю. Если знаменатели уже одинаковы, складывают или вычитают числители, а знаменатель сохраняют. При разных знаменателях сначала находят общий знаменатель — подробнее это разобрано на странице приведение дробей к общему знаменателю.
Для сложения чисел с разными знаками сравнивают модули. Например, \(-8+3=-(8-3)=-5\), потому что модуль числа \(-8\) больше. Если слагаемые имеют одинаковый знак, модули складывают: \(-4+(-6)=-10\).
Вычитание любого числа можно заменить сложением противоположного. Поэтому \(\frac{2}{5}-\frac{7}{10}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)\). Такой приём уменьшает количество ошибок со знаками.
1. Определите знаки чисел. 2. Приведите дроби к общему знаменателю. 3. Выполните действие с числителями с учётом знаков. 4. Сократите результат, если это возможно.
Чему равно \(-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\)?
Умножение и деление
При умножении дробей перемножают числители и знаменатели. Перед умножением полезно сокращать множители по диагонали: это упрощает вычисления и уменьшает вероятность ошибки.
При делении на дробь умножают на число, обратное делителю. Взаимно обратные числа подробно рассматриваются на странице взаимно обратные числа. Делитель не может быть равен нулю.
Умножение любого числа на ноль даёт ноль: \(a\cdot0=0\). Делить на ноль нельзя. Деление на единицу не изменяет число: \(a:1=a\). Деление числа на самого себя равно единице только при \(a\ne0\).
Порядок действий в выражениях
В выражениях сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание. Действия одного приоритета выполняют слева направо. Если перед скобками стоит минус, при раскрытии скобок меняют знаки всех слагаемых внутри.
Если выражение содержит десятичные дроби, можно считать в десятичной записи, выравнивая запятые по разрядам, или перевести числа в обыкновенные дроби. Выбирайте способ, который даёт более короткое вычисление.
Вычислим \(\left(-\frac{3}{4}+1{,}5\right):\left(-\frac{5}{6}\right)-\frac{1}{2}\).
Ответ: \(-\frac{7}{5}\), или \(-1{,}4\). Проверка по знаку: первая скобка положительна, делитель отрицателен, значит частное отрицательно; после вычитания положительного числа результат остаётся отрицательным.
Не складывайте знаменатели: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\), а не \(\frac{2}{6}\). Не забывайте, что деление на дробь заменяется умножением на обратную. Не теряйте скобки в выражении \(-2^2\): по обычному порядку действий это \(-(2^2)=-4\), а \((-2)^2=4\). После вычислений сокращайте дробь и проверяйте знак результата.
Применение в задачах
В текстовой задаче сначала определите, что обозначает каждое число, и выберите действие. Если величина увеличилась на \(\frac{a}{b}\), прибавляют эту дробь; если уменьшилась — вычитают. Для нескольких одинаковых долей используют умножение, а для нахождения одной доли — деление.
- Запишите краткое условие и обозначьте неизвестную величину.
- Переведите все числа в одну форму: дроби или десятичные дроби.
- Составьте выражение, соблюдая порядок действий.
- Вычислите, сократите результат и укажите единицу измерения.
Оцените знак и примерный размер результата. Например, произведение числа между \(0\) и \(1\) на положительное число должно быть меньше исходного положительного множителя. Если ответ противоречит условию, проверьте знак, порядок действий и деление на дробь.
Быстрая проверка
Главное
- При сложении дробей приводите их к общему знаменателю; при вычитании заменяйте вычитание сложением противоположного числа.
- При умножении перемножайте числители и знаменатели, а при делении умножайте на обратную дробь.
- Одинаковые знаки при умножении и делении дают плюс, разные — минус.
- Соблюдайте порядок действий: скобки, умножение и деление, сложение и вычитание.
- Всегда проверяйте, что знаменатель не равен нулю, сокращайте ответ и оценивайте его знак и величину.