Задания № 2, 3, 6 · ЕГЭ

Вычисление числового выражения

Алгоритм вычислений со скобками, дробями, степенями и разными знаками
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Чтобы вычислить числовое выражение, нужно выполнить действия в правильном порядке и аккуратно сохранить знаки чисел. Алгоритм особенно важен, когда в выражении встречаются порядок действий, дроби, степени и несколько видов скобок.

Что называют числовым выражением

Числовое выражение состоит из чисел, знаков действий и скобок. Его значение получают после выполнения всех указанных действий. Например, \(3+5\cdot 2\) — числовое выражение, а его значение равно \(13\), потому что умножение выполняется раньше сложения.

D
Определение

Значение числового выражения — число, которое получается после выполнения всех действий в выражении.

T
Порядок действий

Действия выполняют так: 1) в скобках; 2) степени и корни; 3) умножение и деление слева направо; 4) сложение и вычитание слева направо. Действия одного уровня выполняются в порядке их записи.

Перед началом решения полезно определить структуру выражения: найти внешние скобки, степени, дробные черты и знаки перед числами. Дробная черта группирует весь числитель и весь знаменатель, поэтому вычисление выражений с дробями требует такого же внимания к скобкам, как и обычная запись.

Основной алгоритм вычисления

  1. Разберите выражение на части и отметьте скобки, степени, умножение, деление, сложение и вычитание.
  2. Вычислите самые внутренние скобки. Если скобки вложены, начинайте с внутренних.
  3. Выполните степени. Помните: сначала находят значение степени, затем выполняют умножение или деление.
  4. Выполните умножение и деление слева направо.
  5. Выполните сложение и вычитание слева направо.
  6. Проверьте знак, порядок действий и разумность результата.
\[a(b+c)=ab+ac\]
\[(-a)^n=\begin{cases}a^n, & n\text{ чётное},\\-a^n, & n\text{ нечётное}.\end{cases}\]

При действиях с дробями применяйте правила действий с рациональными числами. Для сложения и вычитания дробей сначала приводят их к общему знаменателю. При умножении перемножают числители и знаменатели, а при делении умножают первую дробь на обратную.

\[\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd},\quad b\ne0,\ d\ne0\]
\[\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c},\quad b\ne0,\ c\ne0,\ d\ne0\]

Если в выражении есть корни или модуль, их вычисляют на соответствующем этапе: корень относится к выражениям с квадратными корнями, а модуль — к выражениям с модулем. В простых числовых примерах сначала замените корень или модуль известным числом, затем продолжайте вычисление по общему алгоритму.

Проверь себя

В каком порядке нужно вычислять выражение \(18-2\cdot(3+4)\)?

Знаки и скобки

Знак «минус» может быть знаком действия или знаком отрицательного числа. В записи \(7-(-3)\) первое тире означает вычитание, а \(-3\) — отрицательное число. Поэтому вычитание отрицательного числа заменяется сложением: \(7-(-3)=7+3=10\).

\[a-(-b)=a+b\]

Если перед скобками стоит плюс, скобки можно убрать без изменения знаков: \(a+(b-c)=a+b-c\). Если перед скобками стоит минус, знаки всех слагаемых внутри меняются: \(a-(b-c)=a-b+c\).

T
Раскрытие скобок

При умножении числа на скобки умножьте его на каждый член внутри: \(k(a+b)=ka+kb\). Если множитель отрицательный, знак каждого получившегося произведения учитывается отдельно.

Степень относится только к тому объекту, который указан рядом с её основанием. Сравните \(-2^2\) и \((-2)^2\): в первом случае сначала вычисляют \(2^2\), затем ставят минус, поэтому результат \(-4\); во втором случае в степень возводится всё отрицательное число, и результат \(4\). Свойства степеней собраны на странице свойства степеней.

!
Частые ошибки

Не выполняйте действия только слева направо. Нельзя считать \(6+2\cdot5\) как \((6+2)\cdot5\). Не теряйте минус перед скобками. Не путайте \(-3^2\) и \((-3)^2\). В дроби не сокращайте слагаемые: сокращать можно только множители числителя и знаменателя.

Разобранный пример

Вычислим выражение экзаменационного типа:

\[\left(\frac{3}{4}-\frac{5}{6}\right)\cdot(-12)+2^3\]
№
План решения

Сначала вычислим разность дробей в скобках, затем умножение и степень, а в конце сложим полученные числа.

1
В скобках выполняется вычитание дробей. Общий знаменатель чисел \(4\) и \(6\) равен \(12\).
\(\displaystyle \frac{3}{4}-\frac{5}{6}=\frac{9}{12}-\frac{10}{12}=-\frac{1}{12}\)
2
Теперь умножаем результат скобок на \(-12\). Отрицательный результат и отрицательный множитель дают положительное число.
\(\displaystyle -\frac{1}{12}\cdot(-12)=1\)
3
Степень вычисляется отдельно: \(2^3=8\).
\(\displaystyle 2^3=8\)
4
Последнее действие — сложение результатов умножения и степени.
1+8=9
\[\boxed{\left(\frac{3}{4}-\frac{5}{6}\right)\cdot(-12)+2^3=9}\]1

Проверка: разность \(\frac34-\frac56\) немного меньше нуля, а умножение на \(-12\) даёт число около \(1\). После прибавления \(8\) результат около \(9\), что согласуется с вычислением.

Как записывать решение и проверять ответ

Записывайте преобразования построчно: одна строка — одно или несколько действий одного приоритета. Не смешивайте в одной строке слишком много операций. Если возможно, сокращайте дробь после каждого подходящего шага, но только по множителям.

  • Все ли скобки вычислены от внутренних к внешним?
  • Выполнены ли степени до умножения и деления?
  • Соблюдён ли порядок действий слева направо для операций одного уровня?
  • Правильно ли раскрыты скобки с плюсом и минусом?
  • Сокращены ли дроби и проверены ли знаки результата?
Удобный приём

Если выражение содержит дробь и целое число, запишите целое число со знаменателем \(1\). Например, \(3=\frac31\). Так легче привести слагаемые к общему знаменателю и не ошибиться.

Не путайте вычисление выражения с решением уравнения: здесь требуется получить одно число, а не найти неизвестную. Для повторения базовых правил сначала прочитайте страницы числовое выражение и скобки в выражении. При делении с остатком полезен отдельный алгоритм деления с остатком, но в обычном вычислении дробный результат сохраняют точно, а не заменяют остатком.

Быстрая проверка

Q
Быстрый тест по теме

Проверьте алгоритм

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · порядок действий
Вычислите \(5+3\cdot4\).
Главное за минуту

Главное

  • Сначала выполняйте скобки, затем степени, умножение и деление, после этого сложение и вычитание.
  • Операции одного уровня выполняются слева направо.
  • Минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых внутри.
  • Учитывайте скобки при возведении отрицательного числа в степень.
  • При действиях с дробями приводите к общему знаменателю и сокращайте только множители.
  • После решения проверьте знаки, порядок действий и примерную величину ответа.