Выражения с модулем
Выражения с модулем вычисляют по обычному порядку действий, но перед этим определяют знак числа под знаком модуля. Главное правило: модуль заменяет число на его неотрицательное значение.
Основное правило вычисления модуля
Модуль числа \(a\) — это расстояние от точки с координатой \(a\) до нуля на числовой прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому \(|a|\ge 0\). Если число положительное или равно нулю, модуль его не изменяет. Если число отрицательное, знак минус исчезает.
Для любого действительного числа \(a\) модуль задаётся так: \(|a|=a\), если \(a\ge 0\), и \(|a|=-a\), если \(a<0\).
Например, \(|7|=7\), \(|0|=0\), а \(|-7|=7\). Чтобы вычислить выражение, сначала находят значение внутри модуля, затем применяют правило (1), после чего продолжают вычисления с учётом порядка действий.
Для любых чисел \(a\) и \(b\) выполняются свойства: \(|a|\ge0\); \(|-a|=|a|\); \(|ab|=|a||b|\); если \(b\ne0\), то \(\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\); \(|a|^2=a^2\).
Формула (2) полезна при преобразованиях. Например, \(\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5\), а не \(-5\). При извлечении квадратного корня всегда получают неотрицательное число.
Вычисление числовых выражений
Если под знаком модуля стоит числовое выражение, его нужно вычислить полностью или настолько, чтобы определить знак. Нельзя раскрывать модуль, не выяснив, положительно или отрицательно его содержимое. Дальше применяют обычные правила работы с числовыми выражениями, дробями и квадратными корнями.
- Разберите выражение по порядку действий.
- Вычислите выражение под знаком модуля.
- Определите знак полученного числа.
- Замените модуль соответствующим числом.
- Завершите вычисления и проверьте, что результат согласуется со свойствами модуля.
Вычислим \(|-3|+|2-7|\cdot|{-4}|\).
Ответ: \(23\). Заметим, что каждый модуль дал неотрицательное значение, но само итоговое выражение могло бы быть отрицательным, если бы между модулями стоял знак минус, например \(|3|-|8|=-5\).
Чему равно выражение \(|-6+2|+|3-8|\)?
Преобразование выражений с модулем
При преобразовании важно различать модуль числа и модуль выражения. Если знак выражения известен, модуль можно раскрыть. Например, поскольку \(x-3\ge0\) при \(x\ge3\), то \(|x-3|=x-3\). Если же \(x<3\), то \(x-3<0\) и \(|x-3|=-(x-3)=3-x\).
Геометрически \(|x-a|\) — расстояние между точками с координатами \(x\) и \(a\). Поэтому выражение \(|x-a|\) всегда неотрицательно, а его минимальное значение равно нулю при \(x=a\).
Если перед модулем стоит множитель, модуль относится только к выражению внутри вертикальных черт. Например, \(-2|x-1|\) нельзя превращать в \(|-2x+2|\): знак минус перед модулем сохраняется снаружи.
Равенство \(|a+b|=|a|+|b|\) выполняется не всегда. Оно верно, например, когда числа \(a\) и \(b\) имеют одинаковый знак или одно из них равно нулю. В остальных случаях возможна строгая разность из-за взаимного сокращения.
Модули в дробях, корнях и степенях
В дроби модуль можно раскрывать отдельно в числителе и знаменателе: \(\left|\frac{-6}{4}\right|=\frac{|-6|}{|4|}=\frac64=\frac32\). Знаменатель исходной дроби не должен быть равен нулю.
В выражениях с корнями помните: \(\sqrt{a^2}=|a|\), а не всегда \(a\). Поэтому \(\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|\). Если дополнительно известно, что \(x\ge4\), можно записать \(\sqrt{(x-4)^2}=x-4\). Если \(x<4\), результат равен \(4-x\).
Упростим выражение \(\sqrt{(3-x)^2}+|x-3|\).
Если в условии дано конкретное значение переменной, сначала подставьте его, затем вычислите подмодульное выражение. Если требуется преобразовать выражение при неизвестной переменной, проверьте, есть ли условие, определяющее знак.
1. Записывать \(|a|=a\) для любого \(a\). Верно только при \(a\ge0\). 2. Считать, что \(|a+b|=|a|+|b|\) всегда. Это лишь неравенство. 3. Забывать скобки: \(-|x-2|\) не равно \(|-x-2|\). 4. Писать \(\sqrt{a^2}=a\) без условия \(a\ge0\). 5. Нарушать распределительное свойство: \(|2x-6|\) нельзя раскрыть как \(2x-6\) без анализа знака.
После вычисления проверьте отдельные модули: каждый из них неотрицателен. Если получился отрицательный результат у выражения, это допустимо только тогда, когда между неотрицательными модулями есть вычитание или отрицательный множитель.
Алгоритм решения экзаменационного задания
- Перепишите выражение аккуратно, выделив все знаки модуля.
- Не смешивайте внешний знак с содержимым модуля.
- Вычислите подмодульные выражения с учётом скобок, дробей и корней.
- Раскройте модуль по знаку содержимого или оставьте его как \(|a|\), если знак неизвестен.
- Сократите дробь и выполните последние действия.
- Проверьте ответ по неотрицательности модулей и области допустимых значений.
Итоговая проверка
Главное
- Модуль числа равен самому числу при неотрицательном числе и противоположному числу при отрицательном.
- Сначала вычисляют выражение под модулем, затем раскрывают модуль и продолжают действия по правилам порядка действий.
- Всегда верно \(|a|\ge0\), \(|-a|=|a|\), \(\sqrt{a^2}=|a|\).
- Для раскрытия \(|x-a|\) нужно определить знак \(x-a\): при \(x\ge a\) это \(x-a\), при \(x<a\) — \(a-x\).
- Знак перед модулем не входит внутрь него автоматически: \(-\,|a|\) и \(|-a|\) — разные записи.