Задания № 6, 15 · ЕГЭ

Выражения с квадратными корнями

Определение, свойства и правила преобразования выражений с квадратными корнями

3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Выражения с квадратными корнями — это числовые выражения, в которых встречаются знаки корня, действия с корнями и обычными числами. Чтобы правильно их вычислять, нужно знать свойства корней и соблюдать порядок действий.

Выражение с квадратными корнямиСлово «корень» связано с тем, что квадратный корень является обратным действием к возведению в квадрат.

Выражение с квадратными корнями содержит один или несколько квадратных корней вида \(\sqrt{a}\), где \(a\ge 0\), а также числа, знаки арифметических действий и скобки. Значение такого выражения находят по свойствам корней и правилам вычисления числового выражения.

Основные формулы

Квадратный корень можно выносить из-под знака корня, если подкоренное выражение представлено как произведение полного квадрата и другого множителя. Корни с одинаковыми подкоренными выражениями можно складывать и вычитать как подобные слагаемые.

\[\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad (a\ge 0,\ b\ge 0);\qquad \sqrt{a^2}=|a|;\qquad k\sqrt{a}\pm m\sqrt{a}=(k\pm m)\sqrt{a}.\]

При умножении и делении корней используют правила \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) и \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) при \(b>0\). Связь корня со степенью записывают так: \(\sqrt{a}=a^{\frac12}\); подробнее она рассматривается на странице корень как степень.

№

Пример

Упростим выражение \(\sqrt{72}-2\sqrt{8}\). Выносим полные квадраты: \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2\), а \(\sqrt8=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2\). Поэтому \(6\sqrt2-2\cdot2\sqrt2=2\sqrt2\).

Не путайте

Неверно раскрывать сумму под корнем как сумму корней: \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\). Свойство разложения применяется к произведению, а не к сумме. Также \(\sqrt{x^2}=|x|\), а не всегда \(x\).

Проверьте себя

Чему равно выражение \(\sqrt{50}+\sqrt8\)?

Главное за минуту

Главное

Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным.
Используйте свойства произведения и дроби, выносите полные квадраты и складывайте только корни с одинаковыми подкоренными выражениями.
Помните: \(\sqrt{x^2}=|x|\), а корень из суммы нельзя раскладывать на сумму корней.