Корень как степень
Арифметический квадратный корень можно записать как степень с дробным показателем: \(\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}\) при \(a\ge 0\). Это позволяет преобразовывать выражения с корнями, используя правила степени числа.
Основная формула
Из этой записи следуют полезные преобразования: \(\sqrt{a^2}=a\) верно только при \(a\ge 0\), а для любого действительного \(a\) справедливо \(\sqrt{a^2}=|a|\). Также \(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\), если \(a\ge0\) и \(b\ge0\).
Представим \(\sqrt{25}\) как степень: \(\sqrt{25}=25^{\frac12}\). Вычислим значение: \(25^{\frac12}=5\), потому что \(5^2=25\). Значит, \(\sqrt{25}=5\).
Арифметический корень не может быть отрицательным: \(\sqrt{16}=4\), а не \(-4\). Однако уравнение \(x^2=16\) имеет два корня: \(x=4\) и \(x=-4\). Кроме того, запись \(a^{\frac12}\) в школьных задачах рассматривают для \(a\ge0\).
Связь с выражениями
В выражениях с квадратными корнями можно заменять корень степенью с показателем \(\frac12\), а затем применять свойства степеней. Например, \(\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x\) при \(x\ge0\), поскольку \(x^{\frac12}\cdot x^{\frac12}=x^{1}=x\).
Чему равно выражение \(\sqrt{49}\)?
Главное
- \(\sqrt{a}=a^{\frac12}\) при \(a\ge0\).
- Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.
- При преобразовании \(\sqrt{a^2}\) нужно учитывать знак числа: результат равен \(|a|\).