Задания № 2, 3 · ЕГЭ

Отрицательная степень

Как определить отрицательную степень и преобразовать выражение

3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Отрицательная степень показывает, что нужно взять обратное число к соответствующей положительной степени. Например, \(a^{-3}\) — это не отрицательное значение, а число, обратное \(a^3\).

Отрицательная степеньЗнак «минус» в показателе означает переход к обратному числу, а не смену знака самого значения.

Для любого ненулевого числа \(a\) и натурального числа \(n\) отрицательная степень определяется равенством \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Основание степени должно быть ненулевым: \(a\ne0\). Понятие опирается на правила степени числа и свойства взаимно обратных чисел.

Основная формула

\[a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad a\ne 0,\quad n\in\mathbb{N}\]

Чтобы преобразовать отрицательную степень, замените показатель на противоположный и запишите единицу в числителе. Например, \(5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}\). Если основание уже является дробью, при возведении в отрицательную степень дробь переворачивается: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\).

№

Пример преобразования

Упростим выражение \(\frac{4^{-2}}{2^{-3}}\). Заменим отрицательные степени обратными числами: \(\frac{1/16}{1/8}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\). То же можно сделать по правилу деления степеней: \(\frac{4^{-2}}{2^{-3}}=2^{-4}\cdot2^3=2^{-1}=\frac12\).

Не путайте знак показателя и знак числа

\((-2)^ {-3}=-\frac18\), потому что основание отрицательное и показатель нечётный. Но \(-2^{-3}=-\frac18\) означает минус перед степенью. При чётном показателе, например \((-2)^{-2}\), результат положителен: \(\frac14\). Скобки вокруг отрицательного основания обязательны, если оно возводится в степень.

Проверьте себя

Чему равно \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}\)?

При преобразованиях отрицательных степеней полезно применять свойства степеней. Важно также отличать отрицательный показатель от нулевой степени: \(a^0=1\) при \(a\ne0\), а \(a^{-n}=\frac1{a^n}\). Выражение \(0^{-n}\) не определено, поскольку деление на ноль невозможно.

Главное за минуту

Главное

\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) при \(a\ne0\).
Отрицательный показатель означает обратное число, а не отрицательный результат.
Для дробного основания дробь переворачивается: \(\left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n\).