Свойства степеней
Свойства степеней — это правила, которые позволяют умножать и делить степени, а также возводить степень в степень, не вычисляя большие числа полностью. Они применяются к степеням с одинаковыми основаниями и помогают быстро упрощать выражения.
Сначала вспомним степень числа: \(a^n\) — произведение \(n\) одинаковых множителей \(a\). Основные свойства справедливы для натуральных показателей \(m\) и \(n\), а при делении дополнительно требуется, чтобы основание было ненулевым.
При умножении степеней с одним и тем же основанием основание оставляют прежним, а показатели складывают.
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают: из показателя числителя вычитают показатель знаменателя.
При возведении степени в степень показатели перемножают. Отдельное важное правило связано с нулевым показателем: для любого \(a\ne0\) выполняется \(a^0=1\). Если показатель отрицательный, используется отрицательная степень: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\).
Упростим выражение \(\frac{2^7\cdot2^3}{2^5}\). Сначала применяем правило умножения: \(2^7\cdot2^3=2^{10}\). Затем делим степени: \(\frac{2^{10}}{2^5}=2^{10-5}=2^5=32\).
Правила сложения показателей нельзя применять к сумме: \((a+b)^n\ne a^n+b^n\) в общем случае. Например, \((2+3)^2=25\), а \(2^2+3^2=13\).
Чему равно выражение \(\frac{x^4\cdot x^2}{x^3}\) при \(x\ne0\)?
Главное
- При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
- При делении показатели вычитают, а при возведении степени в степень перемножают.
- Для ненулевого основания \(a^0=1\); выражения с делением на ноль недопустимы.