Упрощение выражений
Упрощение выражений — это последовательное преобразование записи без изменения её значения. Основные приёмы: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение свойств действий и формул сокращённого умножения.
Что значит упростить выражение
Алгебраическое выражение состоит из чисел, переменных, знаков действий и скобок. Перед преобразованиями полезно повторить, что такое алгебраическое выражение, а также свойства степеней, если в выражении есть степени.
Два выражения называются тождественно равными, если при всех допустимых значениях переменных они имеют одинаковые значения. Преобразование, при котором выражение заменяют тождественно равным, называют тождественным преобразованием.
Цель упрощения — получить более короткую или удобную форму: убрать скобки, объединить слагаемые, сократить количество действий. Например, выражение \(3x+2x-7\) упрощается до \(5x-7\).
Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть с одинаковыми показателями степеней. Числовые множители перед буквенной частью называются коэффициентами. Подобные слагаемые можно складывать или вычитать, складывая или вычитая их коэффициенты.
Слагаемые \(4a^2b\) и \(-7a^2b\) подобны, а \(4a^2b\) и \(4ab^2\) — нет: показатели степеней переменных различаются. Слагаемые \(5x\) и \(5y\) тоже не являются подобными.
Раскрытие скобок
При раскрытии скобок используют распределительное свойство умножения. Каждый множитель перед скобками умножают на каждый член внутри скобок.
Если перед скобками стоит знак «плюс», скобки можно убрать без изменения знаков: \(+(a-b)=a-b\). Если перед скобками стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные: \(-(a-b)=-a+b\).
Знак «плюс» перед скобками сохраняет знаки слагаемых. Знак «минус» перед скобками меняет знак каждого слагаемого на противоположный. Нельзя менять знак только у первого слагаемого.
Если скобки умножаются на скобки, каждый член первой скобки умножают на каждый член второй, а затем приводят подобные слагаемые. Для специальных случаев применяют формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов.
Как правильно раскрыть скобки в выражении \(-3(2x-5)\)?
Порядок преобразований
Чтобы не потерять знаки и не выполнить действия в неверном порядке, придерживайтесь алгоритма. Сначала учитывают ограничения на переменные, если есть знаменатели или корни; такие ограничения связаны с областью допустимых значений. Затем раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и выполняют числовые действия.
- Запишите выражение внимательно, сохраняя знаки перед скобками.
- Раскройте внутренние скобки, если они есть.
- Умножьте общий множитель на каждый член скобок.
- Уберите скобки со знаком «плюс» или «минус», изменив знаки при необходимости.
- Сгруппируйте подобные слагаемые.
- Сложите или вычтите коэффициенты и запишите результат в стандартном удобном виде.
Подставьте простое значение переменной, например \(x=1\) или \(x=2\), в исходное и полученное выражения. Если результаты различаются, в преобразовании допущена ошибка. Такая проверка не заменяет решение, но быстро обнаруживает неверный знак или коэффициент.
Разобранный пример
Упростим \(4(2x-3)-2(x+5)+3x\).
Ответ: \(9x-22\). Проверим при \(x=2\): исходное выражение равно \(4(4-3)-2(2+5)+6=4-14+6=-4\), а упрощённое \(9\cdot2-22=-4\). Значения совпали.
Скобки, дроби и стандартная форма
Если выражение содержит дроби, сначала можно привести дробные коэффициенты к общему знаменателю, а затем объединить подобные слагаемые. Например, \(\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}x=\frac{2}{4}x+\frac{3}{4}x=\frac{5}{4}x\). При работе с буквенными дробями важно учитывать, что знаменатель не может быть равен нулю; рядом изучается дробно-рациональное выражение.
Стандартный вид многочлена обычно записывают по убыванию степеней переменной: \(3x^3-2x^2+x-5\). Сначала приводят подобные слагаемые, затем упорядочивают их. Не путайте это с стандартным видом числа, который используется для записи очень больших и очень маленьких чисел.
1. Ошибка в минусе: \(-(x-4)\) ошибочно записывают как \(-x-4\), хотя правильно \(-x+4\).<br>2. Умножение только на первый член: \(3(x+2)\) нельзя превращать в \(3x+2\); правильно \(3x+6\).<br>3. Сложение неподобных слагаемых: \(2x+3y\) не равно \(5xy\) и не равно \(5x\).<br>4. Потеря коэффициента: \(x+4x\) равно \(5x\), а не \(4x\).<br>5. Сокращение через сумму: в дроби нельзя сокращать отдельные слагаемые числителя и знаменателя без разложения на множители.
Раскрыть скобки — значит применить умножение ко всем членам скобок. Привести подобные — значит сложить или вычесть их коэффициенты, не меняя буквенную часть.
Как сравнивать полученные выражения
После упрощения выражения удобно сравнивать выражения по их форме или значениям. Если после тождественных преобразований получилось \(A=B\), то выражения равны при всех допустимых значениях переменных. Если равенство выполняется только при некоторых значениях, это уже уравнение, а не тождество.
- Перед скобками учтён знак и общий множитель.
- Каждый член скобок умножен на множитель.
- Подобные слагаемые объединены, неподобные не сложены.
- Ограничения на переменные не забыты.
- Ответ проверен подстановкой простого значения.
Быстрая проверка
Главное
- Упрощение выражения сохраняет его значение и состоит главным образом в раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых.
- При умножении на скобки общий множитель распределяют на каждый член.
- Минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого внутри.
- Складывать можно только подобные слагаемые; коэффициенты складываются, буквенная часть сохраняется.
- После преобразований полезно проверить результат подстановкой и учесть область допустимых значений.