Квадрат суммы
Квадрат суммы — это результат возведения суммы двух выражений в квадрат. Чтобы быстро раскрыть скобки, используют формулу квадрата суммы: квадрат первого слагаемого плюс удвоенное произведение первого и второго слагаемых плюс квадрат второго.
Формула является тождеством: она верна при любых допустимых значениях \(a\) и \(b\). Для её понимания полезно знать степень числа и распределительное свойство умножения. При раскрытии скобок действуйте по трём шагам: возведите в квадрат первое слагаемое, прибавьте удвоенное произведение слагаемых, затем прибавьте квадрат второго слагаемого.
Раскроем скобки в выражении \((x+3)^2\). Здесь первое слагаемое — \(x\), второе — \(3\): \((x+3)^2=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=x^2+6x+9\).
В формуле квадрата суммы средний член положительный: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Для разности знак перед средним членом меняется: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Это квадрат разности, а не квадрат суммы.
Формулу можно применять и в обратную сторону — для разложения выражения на множители. Если выражение имеет вид \(a^2+2ab+b^2\), его записывают как \((a+b)^2\). Например, \(x^2+10x+25=(x+5)^2\), потому что \(10x=2\cdot x\cdot5\), а \(25=5^2\).
Как раскрывается выражение \((y+4)^2\)?
Главное
- \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
- Средний член — удвоенное произведение слагаемых, а не просто их произведение.
- В обратную сторону формула помогает представить \(a^2+2ab+b^2\) как \((a+b)^2\).