Основные алгебраические тождества
Основные алгебраические тождества — это равенства, верные при всех допустимых значениях переменных. Они помогают быстро раскрывать скобки, сворачивать выражения и выполнять разложение на множители без обычного перемножения каждого слагаемого.
Что такое тождество
Тождество — равенство, которое сохраняется при любых значениях переменных, при которых обе его части имеют смысл. Например, \(2(x+3)=2x+6\) — тождество, а \(x+3=7\) — уравнение: оно верно только при одном значении \(x=4\).
Алгебраическое тождество — равенство выражений, истинное для всех допустимых значений входящих в них переменных.
Большинство формул этой темы называют формулами сокращённого умножения. Их можно получить раскрытием скобок, но на практике формулы запоминают и применяют в обоих направлениях.
Сначала определите, какие выражения играют роль \(a\) и \(b\). Затем проверьте знак между ними и количество слагаемых: у квадрата двучлена всегда три слагаемых, у разности квадратов — два множителя.
Квадраты суммы и разности
Квадрат двучлена раскрывается не как сумма квадратов. При умножении скобки самой на себя появляется удвоенное произведение двух частей.
Первая формула — квадрат суммы, вторая — квадрат разности. В обеих формулах крайние слагаемые положительны: это квадраты \(a^2\) и \(b^2\). Знак среднего слагаемого совпадает со знаком между \(a\) и \(b\).
Квадрат суммы или разности равен квадрату первого выражения, плюс или минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
Разность квадратов и кубы
Разность квадратов раскладывается на произведение суммы и разности тех же выражений. Это обратное применение формулы: вместо раскрытия скобок мы выделяем структуру \(a^2-b^2\).
Формула особенно полезна, когда оба слагаемых являются точными квадратами. Например, \(25x^2-9=(5x)^2-3^2\).
Куб суммы и куб разности раскрываются в четыре слагаемых. Сумма или разность кубов раскладывается на линейный множитель и квадратный трёхчлен. В скобке второго множителя знак среднего члена противоположен знаку между кубами.
- Куб суммы: знаки в правой части только плюсы.
- Куб разности: знаки чередуются \(+,-,+,-\).
- Сумма кубов: \((a+b)(a^2-ab+b^2)\).
- Разность кубов: \((a-b)(a^2+ab+b^2)\).
Какое выражение равно \(x^2-10x+25\)?
Как выбрать нужную формулу
Перед преобразованием не раскрывайте скобки автоматически. Сначала посчитайте количество слагаемых и проверьте степени.
- Если есть скобка в квадрате или кубе, сопоставьте её с квадратом или кубом суммы либо разности.
- Если выражение состоит из двух квадратов, соединённых знаком минус, проверьте формулу разности квадратов.
- Если стоят два куба, определите, это сумма или разность кубов.
- Подставьте \(a\) и \(b\) в формулу, сохраняя их знаки и порядок.
- При необходимости раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.
Для \((a\pm b)^2\) проверьте средний член: он должен быть равен \(\pm2ab\). Для разности квадратов после разложения обратное раскрытие скобок должно дать взаимно уничтожающиеся члены \(+ab\) и \(-ab\).
Разобранный пример
Упростим выражение \(E=(3x-2)^2-(x-4)(x+4)\). Здесь используются квадрат разности и разность квадратов.
После преобразования получаем \(\boxed{E=8x^2-12x+20}\). Главное место, где часто ошибаются, — знак минус перед всей второй скобкой.
Частые ошибки
Неверно: \((a+b)^2=a^2+b^2\). Верно: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Слагаемое \(2ab\) появляется из двух произведений: \(ab+ab\).
Неверно: \((a-b)^2=a^2-2ab-b^2\). Последний член всегда \(+b^2\), потому что квадрат отрицательного числа положителен.
Формула \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) требует двух множителей. Запись \(a^2-b^2=(a-b)^2\) неверна: справа появляется дополнительный член \(-2ab\).
В формуле \(a^3-b^3\) второй множитель имеет вид \(a^2+ab+b^2\), а не \(a^2-ab+b^2\). Знак среднего члена меняется при переходе от суммы кубов к разности кубов.
Как применять тождества при разложении
Формулы работают в двух направлениях. Например, выражение \(x^2+6x+9\) можно свернуть в \((x+3)^2\), а \(16y^2-25\) — разложить как \((4y-5)(4y+5)\). Такой подход часто является первым шагом при методах разложения на множители.
Иногда общий вид скрыт: \(4x^2+12x+9=(2x)^2+2\cdot(2x)\cdot3+3^2=(2x+3)^2\). Поэтому полезно сравнивать коэффициент среднего члена с \(2ab\), а свободный член — с \(b^2\).
Итоговая проверка
Главное
- Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\); квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
- Разность квадратов: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
- Куб суммы и разности раскрываются по формулам с коэффициентами \(3\); сумма и разность кубов раскладываются на линейный множитель и квадратный трёхчлен.
- Перед применением формулы определите структуру выражения и внимательно следите за знаками.
- Тождества применяются в обе стороны: для раскрытия скобок и для разложения на множители.