Разложение на множители по формулам
Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения более простых выражений. В этой теме используются знакомые алгебраические тождества: нужно распознать в многочлене левую часть формулы сокращённого умножения и записать правую часть.
Что значит разложить многочлен на множители
При разложении на множители выражение не изменяется по значению, а только меняет вид. Например, многочлен \(x^2-9\) можно представить как произведение \((x-3)(x+3)\). Такое преобразование удобно при сокращении алгебраических дробей, решении уравнений и применении свойства нулевого произведения.
Разложение многочлена на множители — это преобразование, при котором многочлен представляют в виде произведения двух или нескольких многочленов, одночленов или чисел.
Формулы сокращённого умножения работают в обе стороны. Если раскрыть скобки, получится левая часть формулы; если распознать левую часть в готовом многочлене, можно свернуть её в произведение.
Перед применением формулы проверьте: 1) сколько слагаемых в многочлене; 2) являются ли крайние слагаемые квадратами; 3) совпадает ли средний член с удвоенным произведением соответствующих выражений; 4) стоят ли знаки правильно.
Основные формулы для разложения
В формулах \(a\) и \(b\) могут быть числами, переменными, одночленами или целыми выражениями. Поэтому вместо \(a\) можно подставить, например, \(2x\), а вместо \(b\) — \(3y-1\).
Первые две формулы называют квадратом суммы и квадратом разности. В них три слагаемых: квадраты двух выражений и средний член \(\pm 2ab\). Третья формула называется разностью квадратов: слева два слагаемых, каждое является квадратом, между ними стоит знак минус.
Квадрат суммы: сумма квадратов плюс удвоенное произведение. Квадрат разности: сумма квадратов минус удвоенное произведение. Разность квадратов: разность и сумма корней квадратов.
| Вид многочлена | Результат разложения | Что проверить |
|---|---|---|
| \(a^2+2ab+b^2\) | \((a+b)^2\) | средний член положительный |
| \(a^2-2ab+b^2\) | \((a-b)^2\) | средний член отрицательный |
| \(a^2-b^2\) | \((a-b)(a+b)\) | оба слагаемых — квадраты, между ними минус |
Как выбрать формулу
- Приведите подобные слагаемые и расположите выражение в удобном порядке.
- Посчитайте количество слагаемых. Три слагаемых часто указывают на квадрат суммы или квадрат разности; два — на разность квадратов.
- Проверьте, являются ли первое и последнее слагаемые полными квадратами: \(x^2\), \(25y^2\), \(\frac{1}{9}a^2\).
- Извлеките квадратные корни из крайних слагаемых и обозначьте их как \(a\) и \(b\).
- Вычислите \(2ab\) и сравните с оставшимся слагаемым. Только после этого записывайте формулу.
- Раскройте скобки мысленно или выполните обратную проверку.
Для выражения \(9x^2-24x+16\) крайние слагаемые дают \(3x\) и \(4\). Их удвоенное произведение равно \(2\cdot3x\cdot4=24x\). Значит, это квадрат разности: \((3x-4)^2\).
Как разложить \(25a^2-36b^2\)?
Разбор примеров
Рассмотрим выражение, в котором оба слагаемых содержат переменные. Важно не перепутать квадрат одночлена с самим одночленом: квадрат \(4x^2\) — это \((2x)^2\), а не \((4x)^2\).
Разложить на множители \(16x^2-40xy+25y^2\).
Ответ можно проверить раскрытием скобок: \((4x-5y)^2=16x^2-40xy+25y^2\).
Разложить на множители \(49m^2-81\).
Иногда формулу можно применить повторно. Например, \(x^4-16=(x^2)^2-4^2=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)\). Второй множитель \(x^2+4\) над действительными числами дальше по этим формулам не раскладывается.
Общий множитель и последовательное разложение
Перед формулами сокращённого умножения полезно проверить, нет ли общего множителя у всех слагаемых. Это часто делает структуру выражения заметной. Например, в \(3x^2-12\) сначала выносим \(3\): \(3(x^2-4)\), а затем применяем разность квадратов.
Если перед скобками стоит общий множитель, он остаётся частью произведения. Полное разложение обычно продолжают до тех пор, пока ни к одному множителю нельзя применить известную формулу или другой метод.
Сначала вынесите общий множитель, затем применяйте формулы сокращённого умножения. После каждого шага проверяйте, нельзя ли разложить полученные множители дальше.
Например, \(2x^3-18x=2x(x^2-9)=2x(x-3)(x+3)\). Здесь общий множитель \(2x\) выделяется первым, а затем разность квадратов применяется к \(x^2-9\).
1. Неверно раскрывают квадрат: \((a+b)^2\ne a^2+b^2\), потому что отсутствует член \(2ab\). 2. Путают сумму квадратов и разность квадратов: \(a^2+b^2\) по данным формулам не раскладывается. 3. Забывают знак: \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\), а не \((a+b)^2\). 4. Извлекают неправильный корень: \(25x^2=(5x)^2\), а не \((25x)^2\). 5. Применяют формулу к трём слагаемым, не проверив средний член.
Проверка результата и границы метода
Самый надёжный способ проверки — раскрыть полученные скобки, используя умножение многочленов. Если после приведения подобных слагаемых получается исходный многочлен, преобразование выполнено верно.
Формулы сокращённого умножения подходят не для любого выражения. Например, \(x^2+5x+6\) не является квадратом суммы или разностью квадратов: крайние слагаемые дают \(x\) и \(\sqrt{6}\), а средний член не совпадает с \(2x\sqrt{6}\). Для такого выражения нужен метод разложения квадратного трёхчлена. Другие случаи рассматриваются в теме методы разложения на множители.
Быстрая проверка
Проверьте навык
Главное
- Разложение на множители — это представление многочлена в виде произведения.
- Для трёх слагаемых проверяйте квадрат суммы или квадрат разности: крайние слагаемые должны быть квадратами, а среднее — равняться \(\pm2ab\).
- Для двух квадратов, соединённых знаком минус, используйте \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
- Сначала выносите общий множитель, затем при необходимости применяйте формулы повторно.
- Всегда проверяйте результат раскрытием скобок; сумму квадратов \(a^2+b^2\) этими формулами не раскладывают.