Задания № 8, 12 · ОГЭ

Разложение квадратного трёхчлена

Как представить квадратный трёхчлен в виде произведения линейных множителей

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Разложение квадратного трёхчлена — это представление выражения \(ax^2+bx+c\) в виде произведения двух линейных множителей, если известны его корни. Такой способ помогает упростить выражения и решить квадратное уравнение.

Разложение квадратного трёхчлена \(ax^2+bx+c\), где \(a\ne0\), — это запись его в виде \(a(x-x_1)(x-x_2)\), где \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\). Если корень один, то есть \(x_1=x_2=x_0\), запись имеет вид \(a(x-x_0)^2\).

Квадратный трёхчлен является частным видом многочлена. Перед разложением можно попытаться применить разложение на множители по формулам, например формулу квадрата разности. Если это не подходит, находят корни квадратного уравнения.

Основная формула

\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),\qquad x_1\ne x_2\]

Корни находят по дискриминанту: \(D=b^2-4ac\). Если \(D>0\), существуют два различных корня \(x_1\) и \(x_2\), и трёхчлен раскладывается на два различных линейных множителя. Если \(D=0\), получается квадрат одного множителя. При \(D<0\) действительных корней нет, поэтому разложение на линейные множители с действительными коэффициентами невозможно.

№

Пример

Разложим \(2x^2-6x+4\). Сначала вынесем общий множитель: \(2(x^2-3x+2)\). Числа \(1\) и \(2\) являются корнями уравнения \(x^2-3x+2=0\). Поэтому \(2x^2-6x+4=2(x-1)(x-2)\).

Не перепутайте знак

Если корень равен \(x_1\), множитель имеет вид \((x-x_1)\). Например, корню \(3\) соответствует \((x-3)\), а корню \(-2\) — \((x+2)\). После разложения полезно раскрыть скобки и проверить исходный многочлен.

Проверьте себя

Как раскладывается \(x^2-5x+6\)?

Главное за минуту

Главное

Квадратный трёхчлен раскладывается как \(a(x-x_1)(x-x_2)\), где \(x_1\) и \(x_2\) — его корни.
При \(D>0\) получаются два линейных множителя, при \(D=0\) — квадрат одного множителя.
Знак в множителе противоположен знаку соответствующего корня.