Задания № 6, 15 · ЕГЭ

Многочлен

Сумма одночленов и запись многочлена в стандартном виде
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Многочлен — это алгебраическое выражение, составленное из суммы одночленов. Например, \(3x^2-5x+7\) — многочлен, потому что он состоит из трёх одночленов: \(3x^2\), \(-5x\) и \(7\).

МногочленСлово связано с выражением «много членов»: членами многочлена называют одночлены, из которых он состоит.
Многочлен — это сумма конечного числа одночленов. Одночлены соединяются знаками сложения или вычитания, причём вычитание рассматривается как сложение с противоположным одночленом.

Чтобы работать с многочленом, полезно сначала распознать его одночлены. Коэффициент одночлена может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Число без переменных также является одночленом: например, \(-4\).

Стандартная форма многочлена

Многочлен записан в стандартной форме, если в нём нет подобных членов, а его одночлены расположены по убыванию степеней переменной. Подобные одночлены предварительно объединяют. Например, выражение \(2x^2+3x-5+x^2-7x\) после приведения подобных членов принимает стандартную форму \(3x^2-4x-5\).

\[P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0,\qquad a_n\ne0\]

Здесь \(a_0,a_1,\dots,a_n\) — коэффициенты, а \(n\) — наибольшая степень переменной. Поэтому стандартная форма помогает сразу определить степень многочлена. Подробные правила такой записи разобраны на странице стандартного вида многочлена.

№
Пример

Приведём к стандартной форме выражение \(4x-2+x^2-7x+5\). Объединяем подобные члены: \(x^2+(4x-7x)+(-2+5)=x^2-3x+3\). Ответ: \(x^2-3x+3\).

!
Не путайте

Многочлен — это не любое алгебраическое выражение. В многочлене переменная не должна находиться в знаменателе, под знаком корня или иметь отрицательную степень. Например, \(\frac{1}{x}\) и \(\sqrt{x}\) многочленами не являются.

Проверь себя

Какова стандартная форма выражения \(3x+x^2-5+2x\)?

Главное за минуту

Главное

  • Многочлен — сумма конечного числа одночленов.
  • В стандартной форме подобные члены объединены, а одночлены записаны по убыванию степеней переменной.
  • Степень многочлена определяется наибольшей степенью переменной после приведения выражения к стандартной форме.