Умножение многочленов
Умножение многочленов выполняют по правилу: каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, а затем складывают полученные произведения и приводят подобные слагаемые. Перед началом полезно повторить умножение одночленов и распределительный закон умножения.
Что значит умножить многочлены
Многочлен — это сумма одночленов, например \(3x^2-5x+1\). При умножении двух многочленов каждый одночлен одного множителя должен встретиться с каждым одночленом другого множителя. Это многократное применение распределительного закона.
Произведение многочленов получают так: каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем складывают результаты и приводят подобные слагаемые.
В общем случае, если \(P=a_1+a_2+\ldots+a_m\), а \(Q=b_1+b_2+\ldots+b_n\), то каждый из \(m\) членов первого многочлена умножается на каждый из \(n\) членов второго. Поэтому до упрощения получится \(m\cdot n\) произведений.
Чтобы умножить многочлены, нужно последовательно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого, записать все произведения с их знаками, а затем привести подобные слагаемые.
Алгоритм умножения
Удобнее действовать по строгому плану. Если в многочленах есть скобки, сначала не следует пытаться «перемножить скобки целиком»: распределяйте умножение по шагам.
- Запишите произведение многочленов в скобках.
- Умножьте первый член первого многочлена на каждый член второго.
- Умножьте второй член первого многочлена на каждый член второго и продолжайте до конца.
- Раскройте скобки с учётом знаков произведений.
- Сложите подобные слагаемые.
- При необходимости запишите ответ в стандартном виде: сначала члены с большими степенями переменной, затем с меньшими.
Для контроля можно составить таблицу произведений. В строках размещают члены первого многочлена, в столбцах — члены второго. Каждая клетка должна содержать одно произведение; пропущенная клетка обычно означает пропущенное слагаемое в ответе.
| \(c\) | \(d\) | |
|---|---|---|
| \(a\) | \(ac\) | \(ad\) |
| \(b\) | \(bc\) | \(bd\) |
Сначала определяйте знак произведения, затем перемножайте коэффициенты и степени. Например, \((-3x^2)\cdot(2x)=-6x^3\): минус на плюс даёт минус, \(3\cdot2=6\), а \(x^2\cdot x=x^3\).
Сколько отдельных произведений получится при раскрытии \((x+2)(3x^2-x+4)\) до приведения подобных слагаемых?
Разобранный пример
Выполним умножение и приведём результат к стандартному виду:
Сначала умножим каждый член многочлена \(2x^2-3x+1\) на каждый член двучлена \(x-4\). Важно сохранить порядок и не потерять знаки.
Ответ: \(2x^3-11x^2+13x-4\). Проверка количества произведений: в первом множителе 3 члена, во втором 2, значит должно быть \(3\cdot2=6\) произведений. В выводе присутствуют все шесть: \(2x^3\), \(-8x^2\), \(-3x^2\), \(12x\), \(x\), \(-4\).
Особые случаи и проверка результата
Если один множитель — одночлен, распределительный закон применяется только к нему. Например:
Если один из многочленов имеет противоположные знаки, каждый знак нужно учитывать отдельно. Выражение \((x-2)(x+5)\) раскрывается как \(x^2+5x-2x-10\), после чего получается \(x^2+3x-10\). Формулы для квадратов и разности квадратов рассматриваются на странице формул сокращённого умножения, поэтому здесь важно освоить общий алгоритм.
Для быстрой проверки можно подставить удобное число вместо переменной, например \(x=1\) или \(x=2\). Значения исходного произведения и полученного многочлена должны совпасть. Такая проверка не заменяет преобразование, но помогает обнаружить ошибку в знаке или коэффициенте.
1. Умножают только первые члены скобок и забывают остальные. Нужно проверить все пары членов. 2. Неверно раскрывают скобки с минусом: \(-3(x-2)=-3x+6\), а не \(-3x-6\). 3. Складывают неподобные слагаемые: \(2x^2+3x\) нельзя заменить на \(5x^2\). 4. Ошибаются в степенях: \(x^2\cdot x^3=x^5\), а не \(x^6\). 5. Теряют нулевой или свободный член при умножении на \(1\) или \(-1\).
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(x^m\cdot x^n=x^{m+n}\). Коэффициенты перемножаются отдельно.
Связь с другими действиями
Умножение многочленов часто входит в цепочку преобразований. После раскрытия скобок выполняют сложение многочленов или вычитание многочленов, затем приводят выражение к стандартному виду. Если результат нужно представить в виде произведения, применяют разложение на множители по формулам.
Частные случаи умножения дают квадрат двучлена и другие тождества. Их изучают после общего алгоритма: сначала важно уметь раскрывать скобки без опоры на запоминание готовой формулы. Например, квадрат многочлена разбирается на отдельной странице квадрат многочлена.
Быстрая самопроверка
Проверь себя
Главное
- Произведение многочленов получают умножением каждого члена одного множителя на каждый член другого.
- После раскрытия скобок складывают все полученные слагаемые и приводят подобные.
- Знаки и степени проверяют отдельно: коэффициенты перемножаются, показатели степеней при одинаковом основании складываются.
- Количество промежуточных произведений равно произведению числа членов в двух множителях.
- Для проверки можно подставить одно и то же значение переменной в исходное и преобразованное выражения.