Квадрат суммы нескольких слагаемых
Квадрат суммы нескольких слагаемых — это произведение суммы на саму себя. Тема обобщает квадрат суммы двух слагаемых и помогает быстро раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и решать задания на преобразование многочленов.
Что означает квадрат суммы
Пусть даны слагаемые \(a_1,a_2,\ldots,a_n\). Их сумма имеет вид \(a_1+a_2+\ldots+a_n\), а квадрат суммы — произведение этой суммы на саму себя: \((a_1+a_2+\ldots+a_n)^2\). Чтобы раскрыть скобки, нужно умножить каждый член первой скобки на каждый член второй. При этом квадраты слагаемых встречаются один раз, а каждое попарное произведение — два раза.
Квадрат суммы нескольких слагаемых — многочлен, полученный возведением суммы \(a_1+a_2+\ldots+a_n\) во вторую степень. В результате складываются квадраты всех слагаемых и удвоенные произведения всех различных пар слагаемых.
В записи (1) первая сумма содержит квадраты всех слагаемых, а вторая — произведения каждой пары без повторений. Формула особенно удобна для трёх и четырёх слагаемых, когда её можно записать полностью.
Обобщённая формула и её вывод
Для трёх слагаемых формула читается так: квадрат первого, второго и третьего слагаемых плюс удвоенные произведения первой и второй, первой и третьей, второй и третьей пар. Важно не забыть ни одну пару и не удвоить произведение одного и того же слагаемого.
Чтобы возвести сумму нескольких слагаемых в квадрат, возведите в квадрат каждое слагаемое и прибавьте удвоенные произведения всех пар различных слагаемых.
При большом числе слагаемых удобно действовать по формуле (1), а не пытаться запомнить длинную запись. Сначала составьте список квадратов, затем список всех пар: для \(n\) слагаемых пар будет \(\frac{n(n-1)}{2}\).
Какой член обязательно входит в раскрытие \((x+y+z)^2\)?
Как преобразовывать выражения
Перед раскрытием скобок определите все слагаемые суммы. Слагаемым может быть не только число или буква, но и одночлен, например \(2x\), \(-3y^2\) или \(\sqrt{5}\). Знак минус относится к слагаемому целиком: в сумме \(a-b+c\) второе слагаемое — \(-b\).
- Запишите выражение как сумму с явными знаками перед слагаемыми.
- Возведите в квадрат каждое слагаемое.
- Найдите все пары различных слагаемых и умножьте каждое произведение на \(2\).
- Раскройте произведения, приведите подобные слагаемые и расположите результат в удобном порядке.
- Проверьте знаки и число попарных произведений.
Если в сумме есть отрицательное слагаемое, не меняйте формулу вручную. Подставьте его со знаком: в \((a-b+c)^2\) используйте слагаемые \(a\), \(-b\), \(c\). Тогда попарные произведения сами дадут правильные знаки.
Разобранный пример экзаменационного уровня
Раскроем скобки и упростим выражение \(\left(2x-3y+\frac{1}{2}\right)^2\). Здесь три слагаемых: \(2x\), \(-3y\) и \(\frac12\).
Итоговый многочлен: \(4x^2-12xy+9y^2+2x-3y+\frac14\). Подобных слагаемых здесь нет, поэтому дальнейшее приведение не требуется.
Такие преобразования являются частью более общего умения раскрывать скобки при умножении многочленов. Если выражение содержит квадрат многочлена, эта тема рассматривается внутри страницы «Квадрат многочлена», где встречаются и другие способы группировки.
Проверка результата и типичные случаи
Результат можно проверить подстановкой простых значений переменных. Например, для выражения из примера при \(x=1\), \(y=1\) левая часть равна \(\left(2-3+\frac12\right)^2=\frac14\). Правая часть также должна дать \(\frac14\). Такая проверка не заменяет решение, но помогает обнаружить ошибку в знаке или коэффициенте.
| Исходный вид | Правильное раскрытие |
|---|---|
| \((a+b+c)^2\) | \(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\) |
| \((a-b+c)^2\) | \(a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc\) |
| \((a+b-c)^2\) | \(a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc\) |
| \((a-b-c)^2\) | \(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc\) |
1. Ошибка \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2\): пропущены попарные произведения. 2. Ошибка \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc\): забыты множители \(2\). 3. Ошибка \((-3y)^2=-9y^2\): квадрат отрицательного числа положителен, поэтому \((-3y)^2=9y^2\). 4. В выражении \((a-b+c)^2\) нельзя считать вторым слагаемым \(b\); это именно \(-b\), иначе нарушатся знаки смешанных членов.
Для трёх слагаемых: три квадрата плюс шесть слагаемых, объединённых в три удвоенных произведения: \(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\).
Быстрый тест
Главное
- Квадрат суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех различных пар.
- Для трёх слагаемых используется формула \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\).
- Знак каждого смешанного члена определяется знаками исходной пары слагаемых.
- При решении сначала выпишите квадраты, затем все пары, раскройте произведения и приведите подобные слагаемые.
- Проверяйте результат: число пар для \(n\) слагаемых равно \(\frac{n(n-1)}{2}\), а подстановка чисел помогает заметить ошибки.