Упрощение дробей с корнями
Дроби с корнями упрощают по тем же основным законам, что и обычные дроби, но дополнительно применяют свойства арифметического квадратного корня. Главные цели: вынести множители из-под корня, сократить дробь, избавиться от корня в знаменателе и проверить область допустимых значений.
1. Область допустимых значений и свойства корня
Перед преобразованиями определите, при каких значениях переменных выражение имеет смысл. Для арифметического квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Если переменная входит под корень или в знаменатель, эти ограничения нужно учитывать до сокращения.
Арифметическим квадратным корнем из числа \(a\ge 0\) называют неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Обозначение: \(\sqrt{a}\). Поэтому всегда \(\sqrt{a}\ge 0\) и \((\sqrt{a})^2=a\).
Модуль в формуле обязателен: например, \(\sqrt{(-5)^2}=5\), а не \(-5\). Для неотрицательных множителей применяются правила \(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\) и \(\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\) при \(a\ge0\), \(b>0\). Подробные преобразования радикалов разобраны на странице преобразований выражений с радикалами, которая находится внутри страницы об упрощении выражений с корнями.
2. Сокращение дробей с корнями
Сокращать можно только общий множитель числителя и знаменателя, а не отдельные слагаемые. Сначала разложите выражения на множители, вынесите из-под корня полные квадраты, затем сократите общий множитель. Если сокращаемый множитель содержит переменную, его равенство нулю нужно исключить из ОДЗ исходной дроби.
При \(B\ne0\) справедливо \(\frac{AB}{CB}=\frac AC\). Сокращение возможно только для множителей: \(\frac{2\sqrt3+4}{2}\) можно разделить почленно на \(2\), а в выражении \(\frac{x+2}{x}\) сокращать \(x\) нельзя.
Если в числителе или знаменателе есть сумма подобных радикалов, сначала объедините их. Например, \(3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2\). Сложение и вычитание подробно рассматриваются на странице сложения и вычитания радикалов, а понятие подобных радикалов — на странице подобных радикалов.
Как правильно упростить \(\frac{\sqrt{18}}{3\sqrt2}\)?
3. Рационализация знаменателя
Рационализировать знаменатель — значит преобразовать дробь так, чтобы в знаменателе не осталось корня. Перед изучением этого приёма полезно прочитать страницу «Рационализация знаменателя». Для знаменателя с одним корнем используют умножение числителя и знаменателя на этот же корень.
Если \(a>0\) и \(b\ne0\), то дробь \(\frac{a}{\sqrt b}\) рационализируют так: умножают её на \(\frac{\sqrt b}{\sqrt b}\).
Знаменатель с двучленом вида \(\sqrt a+\sqrt b\) рационализируют с помощью сопряжённого двучлена \(\sqrt a-\sqrt b\). Это связано с формулой разности квадратов: \((u+v)(u-v)=u^2-v^2\). При необходимости используйте страницы сопряжённых двучленов и рационализации знаменателя с двучленом.
Умножайте сразу числитель и знаменатель на выражение, которое превращает знаменатель в число. После умножения раскройте скобки, примените формулу разности квадратов, упростите корни и только затем сокращайте.
4. Разобранный пример экзаменационного уровня
Найдём значение выражения \(A=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt3+1}+\frac{2}{\sqrt3-1}\). В каждом слагаемом сначала упрощаем корень или рационализируем знаменатель.
Итак, \(A=4\). Важный приём: если в двух слагаемых стоят сопряжённые знаменатели, после рационализации иррациональные части могут взаимно уничтожиться.
5. Преобразование степеней и контроль результата
Корень можно записывать как степень с дробным показателем: \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}\) при допустимых значениях. Это помогает преобразовывать сложные дроби, но при работе с квадратными корнями не забывайте о неотрицательности и модуле. О дробных показателях подробнее рассказано на странице степенных выражений с дробным показателем.
После упрощения проверьте: не появился ли запрещённый знаменатель, не потерялся ли модуль, правильно ли раскрыты скобки и совпадает ли знак результата с исходным выражением. Для выражений с переменными ограничения удобно записывать отдельно. Область допустимых значений степенных выражений разобрана на странице области допустимых значений степенного выражения.
1) Нельзя сокращать слагаемые: \(\frac{x+\sqrt x}{x}\) не превращается в \(\frac{1+\sqrt x}{1}\). 2) Нельзя писать \(\sqrt{x^2}=x\) без условия \(x\ge0\): правильная запись — \(|x|\). 3) При рационализации нельзя умножать только знаменатель. 4) Нельзя раскрывать \((a+b)^2\) как \(a^2+b^2\): нужен средний член \(2ab\). 5) После сокращения нельзя забывать ограничения исходной дроби.
Если требуется оценить полученное выражение или сравнить его с числом, можно использовать свойства корней и оценки; соответствующий приём описан на странице оценки алгебраического выражения.
Быстрая проверка
Главное
- Сначала определяйте ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно, знаменатель не равен нулю.
- Сокращайте только общие множители, предварительно разложив выражения и упростив корни.
- Для знаменателя с одним корнем умножайте на тот же корень.
- Для двучлена используйте сопряжённое выражение и формулу разности квадратов.
- Помните: \(\sqrt{x^2}=|x|\), а после преобразований сохраняйте ограничения исходного выражения.