Упрощение выражений с корнями
Упрощение выражений с корнями — это последовательное применение свойств арифметического корня, вынесение множителей из-под знака корня, приведение подобных радикалов и сокращение дробей. Важно не только получить короткую запись, но и проверять область допустимых значений и знаки выражений.
1. Что можно преобразовывать
Перед началом решения определите, какие действия выполняются в выражении: умножение, деление, сложение, вычитание или возведение в степень. Корень можно преобразовывать по правилам, изученным в теме свойства арифметических корней, но нельзя произвольно раскрывать сумму под корнем.
Подкоренное выражение — выражение, записанное под знаком корня. Для арифметического квадратного корня оно должно быть неотрицательным: если есть \(\sqrt{A}\), то необходимо \(A\ge 0\). Например, в \(\sqrt{3x-6}\) подкоренное выражение — \(3x-6\), поэтому \(x\ge 2\).
При допустимых значениях переменных справедливы правила: корень из произведения можно заменить произведением корней; корень из дроби — частным корней; квадрат корня равен подкоренному выражению. Однако правило \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\) неверно в общем случае.
Последняя формула особенно важна: знак модуля нельзя убирать без анализа знака выражения. Например, \(\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|\), а не всегда \(x-3\).
2. Алгоритм упрощения
Для большинства выражений удобно действовать в одном порядке. Если в задании есть дробь с корнем в знаменателе, после основных преобразований может понадобиться рационализация знаменателя. Если встречается степень с дробным показателем, полезны правила из страницы степенное выражение.
- Найдите область допустимых значений: подкоренные выражения должны быть неотрицательными, знаменатели — ненулевыми.
- Разложите подкоренное число или выражение на множители, среди которых есть полный квадрат.
- Вынесите квадратные множители из-под корня, используя \(\sqrt{a^2}=|a|\).
- Приведите подобные радикалы: складывать и вычитать можно только радикалы с одинаковой коренной частью.
- Выполните умножение, деление и сокращение дробей. При необходимости рационализируйте знаменатель.
- Проверьте знак, ограничения и, если возможно, результат подстановкой простого допустимого значения.
Разложите число на простые множители. Пары одинаковых множителей образуют квадрат и выходят из-под корня. Например, \(72=2^3\cdot3^2=2^2\cdot3^2\cdot2\), поэтому \(\sqrt{72}=6\sqrt2\).
3. Вынесение множителя и подобные радикалы
Вынесение множителя уменьшает подкоренное выражение. Так получают стандартный вид радикала. Например, \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2\). Если перед корнем уже стоит коэффициент, его нужно умножить на вынесенный множитель.
Подобные радикалы имеют одинаковую коренную часть после упрощения. Слагаемые \(3\sqrt5\) и \(-7\sqrt5\) подобны, поэтому их можно объединить: \(3\sqrt5-7\sqrt5=-4\sqrt5\). Радикалы \(\sqrt2\) и \(\sqrt3\) подобными не являются.
Как упростить выражение \(\sqrt{48}\)?
Сложение и вычитание корней выполняют так же, как приведение подобных слагаемых: сначала каждый радикал упрощают, затем складывают коэффициенты. Например, \(\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3\).
4. Разобранный пример
Рассмотрим выражение \(E=\frac{\sqrt{75}-\sqrt{12}}{\sqrt3}+\sqrt{27}\). Здесь нужно сначала упростить корни в числителе и последнем слагаемом, затем выполнить деление.
В этом решении нельзя было сразу сокращать отдельные части выражения: сокращение возможно только у множителей, а не у слагаемых. Сначала числитель был преобразован в произведение \(3\sqrt3\).
1. Неверно раскрывают сумму: \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\). 2. Забывают модуль: \(\sqrt{x^2}=|x|\). 3. Складывают разные радикалы: \(\sqrt2+\sqrt3\) не превращается в \(\sqrt5\). 4. Сокращают слагаемые в сумме, например считают, что \(\frac{a+b}{b}=a\). 5. Делят на выражение, которое может быть равно нулю, не записав ограничение. 6. Выносят множитель из-под корня с ошибкой в степени: \(\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt b\), а не \(a\sqrt b\) без дополнительных условий.
5. Дроби, сопряжённые выражения и проверка
Если в знаменателе находится один корень, используют умножение числителя и знаменателя на этот же корень. Например, \(\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}\). Если знаменатель имеет вид \(a+\sqrt b\) или \(a-\sqrt b\), применяют сопряжённые выражения: \((a+\sqrt b)(a-\sqrt b)=a^2-b\).
При работе с переменными сначала выписывайте ограничения. Например, в выражении \(\frac{\sqrt{x-1}}{x-1}\) требуется \(x-1\ge0\) из корня и \(x-1\ne0\) из знаменателя, значит \(x>1\). Для более сложных случаев полезны страницы упрощение дробей с корнями и сложение и вычитание радикалов.
Проверьте три вещи: все корни определены; знаменатели не равны нулю; преобразования не изменили область допустимых значений. Для числового выражения можно сравнить исходную и полученную формы на калькуляторе только как дополнительную проверку, а не как замену преобразованиям.
6. Связь с другими темами
Эта страница находится внутри темы преобразование выражений с радикалами и связана с вычислением выражений с корнями. Перед изучением полезно повторить арифметический корень и свойства арифметических корней. Для двойных радикалов используется отдельный алгоритм из темы двойной радикал, а извлечение множителей рассматривается также на странице извлечение корня.
Быстрый тест
Главное
- Сначала определяйте область допустимых значений и подкоренные выражения.
- Разлагайте подкоренное число на полный квадрат и оставшийся множитель.
- Помните: \(\sqrt{a^2}=|a|\), а корень из суммы не раскладывается.
- Складывайте и вычитайте только подобные радикалы после их упрощения.
- В дробях сокращайте только множители, следите за ненулевыми знаменателями и при необходимости рационализируйте их.