Задание № 12 · ОГЭ

Арифметический корень

Определение, обозначение и условие существования корня чётной степени
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Арифметический корень — это неотрицательное число, которое при возведении в заданную степень даёт исходное число. Корень чётной степени существует среди действительных чисел только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Арифметический кореньСлово «корень» связано с поиском числа, из которого возведением в степень получают данное число.
Арифметическим корнем степени \(n\) из неотрицательного числа \(a\) называют неотрицательное число \(b\), такое что \(b^n=a\). Обозначают: \(\sqrt[n]{a}=b\). Число \(n\) называют [[root-index:показателем корня]], число \(a\) — подкоренным выражением, а \(b\) — значением корня.

Формула и условия существования

\[\sqrt[n]{a}=b \iff b\ge 0 \text{ и } b^n=a\]

Если показатель \(n\) чётный, то арифметический корень определён только при \(a\ge 0\): \(\sqrt[2k]{a}\) существует при \(a\ge 0\). Если \(a>0\), корень положителен; если \(a=0\), его значение равно нулю. При \(a<0\) корень чётной степени не имеет действительного значения.

Если показатель \(n\) нечётный, арифметический корень существует при любом действительном \(a\). Например, \(\sqrt[3]{-8}=-2\), потому что \((-2)^3=-8\). Подробнее свойства корней рассматриваются на странице [[root-properties:свойства арифметических корней]], а ограничения для чётной степени — на странице [[even-root-domain:ОДЗ корня чётной степени]].

№
Пример

Найдём \(\sqrt[4]{16}\). Нужно найти неотрицательное число, четвёртая степень которого равна \(16\). Так как \(2^4=16\) и \(2\ge0\), получаем \(\sqrt[4]{16}=2\).

!
Не путайте со знаком ±

Запись \(\sqrt{25}=5\), а не \(\pm5\): арифметический корень по определению неотрицателен. Числа \(5\) и \(-5\) являются решениями уравнения \(x^2=25\), но значение корня — только \(5\).

Проверь себя

Каково значение \(\sqrt[3]{-27}\)?

Главное за минуту

Главное

  • Арифметический корень степени \(n\) — неотрицательное число \(b\), для которого \(b^n=a\).
  • Корень чётной степени существует в действительных числах только при \(a\ge0\).
  • Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен; знак \(\pm\) появляется при решении уравнения, а не в значении корня.