Определение дробной степени
Дробная степень — это другая запись арифметического корня: знаменатель показателя показывает показатель корня, а числитель — степень подкоренного выражения. Поэтому \(a^{\frac{m}{n}}\) можно вычислять через корень, если выражение имеет смысл в действительных числах.
Основная формула
Здесь \(n\) — показатель корня, а \(m\) — показатель степени под корнем. Например, \(x^{\frac{3}{5}}\) означает сначала найти корень пятой степени из \(x\), а затем возвести результат в третью степень.
При \(a\ge 0\) дробная степень \(a^{\frac{m}{n}}\) определена для любых целого \(m\) и натурального \(n\). Если показатель корня чётный, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(a^m\ge 0\). Арифметический корень по определению не бывает отрицательным.
\(27^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9\). Сначала знаменатель \(3\) задаёт корень третьей степени, затем числитель \(2\) задаёт возведение в квадрат.
Дробная степень — не то же самое, что деление числа на дробь. Запись \(a^{\frac{m}{n}}\) означает степень с показателем-дробью, а не \(a\div\frac{m}{n}\). Также нельзя забывать об области определения: например, \((-4)^{\frac12}\) не является действительным числом, потому что квадратный корень из отрицательного числа не определён.
Чему равно \(16^{\frac34}\)?
Полезно помнить: одну и ту же дробь в показателе можно записывать разными способами после сокращения, но при вычислениях выбирают наиболее удобную форму. Подробное понятие дробного показателя рассматривается на странице «Дробная степень», а свойства таких выражений — в законах дробных степеней.
Главное
- \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\).
- Знаменатель показывает показатель корня, числитель — степень.
- Для действительных значений нужно проверить, существует ли соответствующий арифметический корень.