ЕГЭОГЭ
Задания № 3, 10 · ЕГЭ

Дробная степень

Как дробная степень связана с корнем и какие значения основания допустимы
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Дробная степень — это способ записать корень с помощью степени: показатель дроби указывает одновременно на степень и корень. Для действительных чисел основание должно удовлетворять ограничениям, зависящим от знаменателя показателя.

Дробная степеньНазвание связано с тем, что показатель степени записан дробью.
Степенью числа \(a\) с дробным показателем \(\frac{m}{n}\), где \(m\) — целое число, а \(n\) — натуральное число, называют выражение \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\). При чётном \(n\) обычно требуется \(a\ge 0\); при нечётном \(n\) допустимы и отрицательные основания. Показатель дроби предполагается несократимым или сначала приводится к несократимому виду.

Связь с корнем

В записи \(a^{\frac{m}{n}}\) знаменатель \(n\) определяет корень, а числитель \(m\) — степень подкоренного выражения. Поэтому полезно знать арифметический корень и степень с натуральным показателем. Например, показатель \(\frac{3}{2}\) означает квадратный корень из куба числа.

\[a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\]
№
Пример

\(16^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{16^3}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8\). Сначала можно извлечь корень, а затем возвести результат в степень.

!
Не путайте знак основания и показатель

Дробная степень не означает деление основания на показатель: \(a^{\frac{m}{n}}\ne\frac{a^m}{n}\). Кроме того, в действительных числах выражение \((-4)^{\frac{1}{2}}\) не имеет значения, потому что квадратный корень из отрицательного числа не является действительным. А выражение \((-8)^{\frac{1}{3}}=-2\) допустимо.

При преобразованиях применяют законы степеней, но область допустимых значений проверяют отдельно. Например, для чётного знаменателя нельзя без дополнительных условий считать основание отрицательным.

Проверьте себя

Какое равенство верно?

Главное за минуту

Главное

  • \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\): знаменатель задаёт корень, числитель — степень.
  • При чётном \(n\) для действительных значений обычно нужно \(a\ge0\); при нечётном \(n\) отрицательные основания допустимы.
  • Дробная степень — не деление степени на число: область допустимых значений нужно проверять отдельно.