Задания № 3, 10, 15 · ЕГЭ

Упрощение степенных выражений

Алгоритм преобразования степенных выражений с целыми и дробными показателями

5 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Упрощение степенного выражения — это последовательное применение законов степеней, приведение подобных множителей и проверка допустимых значений переменных. Сначала повторите [[power-laws:законы степеней]], а затем используйте этот алгоритм для выражений с целыми и дробными показателями.

1. Что нужно знать о степени

Степенью числа или выражения называют произведение одинаковых множителей. В записи $a^n$ число $a$ — основание степени, а $n$ — показатель степени. При натуральном показателе $n$ имеем $a^n=a\cdot a\cdot\ldots\cdot a$, где множитель $a$ повторяется $n$ раз.

Основные определения

Для ненулевого числа $a$ определяют $a^0=1$. Для целого отрицательного показателя $n$ используют правило $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, поэтому основание не должно быть равно нулю. Например, $5^{-2}=\frac{1}{25}$.

\[a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\quad (a\ne 0)\]

\[(a^m)^n=a^{mn},\qquad (ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\quad (b\ne0)\]

При одинаковом основании показатели складывают при умножении и вычитают при делении. При возведении степени в степень показатели перемножают. Эти правила позволяют заменить несколько операций одной и собрать выражение в более короткий вид.

Знак степени

Если показатель целый, то $(-a)^n=a^n$ при чётном $n$ и $(-a)^n=-a^n$ при нечётном $n$. Скобки важны: $(-2)^2=4$, но $-2^2=-4$, потому что степень выполняется раньше знака минус.

2. Дробные показатели и область допустимых значений

Дробная степень связывает степень и корень. Для натурального $n$ и целого $m$ запись $a^{\frac{m}{n}}$ означает сначала извлечение корня степени $n$, а затем возведение результата в степень $m. Это особенно удобно при преобразовании выражений с корнями; соседняя страница [[rational-exponent:дробная степень]] разбирает это определение подробнее.

\[a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}\]

В действительных выражениях при чётном $n$ обычно требуется $a\ge0$, если дробная степень записана как $a^{\frac{1}{n}}$. Если показатель отрицательный, дополнительно нужно $a\ne0$: например, $a^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{a^{\frac{2}{3}}}$. При нечётном корне отрицательное основание допустимо, если результат определён.

Частая ошибка

Нельзя без проверки заменять $(-8)^{\frac{2}{3}}$ на выражение с квадратным корнем: сначала учитывают знаменатель показателя. Здесь $(-8)^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{-8}\right)^2=(-2)^2=4$. Всегда смотрите, чётный или нечётный знаменатель у показателя.

3. Алгоритм упрощения

Для преобразования степенного выражения действуйте по порядку. Если выражение содержит корни, можно перейти к дробным показателям, а если содержит дробные показатели — при необходимости вернуться к корням. На каждом шаге следите за скобками и условиями существования выражения.

Разложите числа и одночлены на простые множители, если это помогает увидеть одинаковые основания.
Приведите степени к общему основанию или к общему показателю. Например, $4^x=(2^2)^x=2^{2x}$.
Примените правила произведения, частного и степени степени.
Уберите отрицательные показатели, перенеся соответствующие множители через дробную черту.
Сократите коэффициенты и сложите подобные показатели; не складывайте сами степени с разными основаниями без преобразования.
Проверьте ограничения: знаменатели не равны нулю, а корни чётной степени имеют неотрицательные подкоренные выражения.

Удобный приём

Если основания связаны степенью, замените их одним основанием. Например, $9^x\cdot3^{1-2x}=(3^2)^x\cdot3^{1-2x}=3^{2x+1-2x}=3$.

Микро-проверка

Как упростить $\frac{x^7\cdot x^{-2}}{x^3}$ при $x\ne0$?

4. Разобранный пример

Упростим выражение $E=\frac{(2a^{-2}b^3)^2\cdot a^5}{4b^2}$, считая $a\ne0$ и $b\ne0$. Здесь полезно отдельно возвести в квадрат коэффициент и каждую степень внутри скобок.

Возводим произведение в квадрат: показатель каждой степени умножается на $2$, коэффициент тоже возводится в квадрат.

$\displaystyle (2a^{-2}b^3)^2=2^2a^{-4}b^6=4a^{-4}b^6$

Подставляем результат в исходное выражение и сокращаем коэффициент $4$.

$\displaystyle E=\frac{4a^{-4}b^6\cdot a^5}{4b^2}=\frac{a^{-4}a^5b^6}{b^2}$

При умножении степеней с основанием $a$ показатели складываются, при делении степеней с основанием $b$ — вычитаются.

$\displaystyle E=a^{-4+5}b^{6-2}=ab^4$

Проверяем: отрицательный показатель исчез, коэффициент сокращён, основание $a$ осталось в первой степени.

$\displaystyle \boxed{E=ab^4}$

№

Почему такой порядок удобен

Если сразу раскрывать все дроби, легко потерять знак показателя. Надёжнее сначала применить степень к скобкам, затем собрать одинаковые основания, и только после этого сокращать.

5. Как найти значение выражения

Если в задании просят найти значение выражения, сначала упростите его символически, а затем подставьте данные. Такой порядок уменьшает количество вычислений и помогает избежать ошибок со знаками. Например, при $x=2$ выражение $\frac{(x^3)^2}{x^4}$ сначала превращается в $x^{6-4}=x^2$, после чего значение равно $2^2=4$.

При подстановке отрицательного числа заключайте его в скобки: если $x=-2$, то $x^2=(-2)^2=4$. Отдельно проверяйте нулевые значения, если есть отрицательные показатели или переменная стоит в знаменателе. При работе с корнями полезны правила со страницы [[radical-simplification:упрощение выражений с корнями]], а общий порядок записи можно повторить на странице [[expression-rewriting:преобразование выражения к удобному виду]].

Не сокращайте слагаемые

Правило $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ относится к произведению одинаковых оснований, а не к сумме. Нельзя сокращать $\frac{x^2+x}{x}$ как степени: сначала вынесите общий множитель $x$, если это возможно, и учтите условие $x\ne0$.

6. Контроль результата

После преобразования полезно проверить ответ двумя способами: подставить простое допустимое значение переменной или развернуть один из промежуточных шагов. Если в результате исчезли все переменные, это возможно только тогда, когда показатели действительно сократились. Для аккуратной записи членов и коэффициентов можно обратиться к страницам [[term-of-expression:член алгебраического выражения]] и [[numerical-coefficient:числовой коэффициент]].

Все одинаковые основания собраны вместе.
Показатели при умножении сложены, а при делении вычтены.
Степень степени дала произведение показателей.
Отрицательные показатели заменены дробями или корректно сохранены.
Проверены знаменатели и условия существования корней.

Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · законы степеней

Упростите $a^4\cdot a^{-7}$ при $a\ne0$.

Главное за минуту

Главное

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, при делении — вычитают.
При возведении степени в степень показатели перемножают; степень произведения распределяется по множителям.
Отрицательный показатель означает обратную степень: $a^{-n}=\frac1{a^n}$ при $a\ne0$.
Дробный показатель переводит степень в корень: $a^{\frac mn}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$.
Алгоритм: привести основания к удобному виду, применить законы степеней, сократить и проверить область допустимых значений.