Вычисление значения алгебраического выражения
Вычислить значение алгебраического выражения — значит подставить вместо переменных данные числа и найти результат. Чтобы не ошибиться, сначала упрощают выражение, затем аккуратно выполняют действия в правильном порядке, учитывая скобки, знаки и область допустимых значений.
Что такое значение выражения
Арифметическое выражение состоит из чисел и знаков действий, например \(7-2\cdot3\). Членами алгебраического выражения называют части, соединённые знаками сложения или вычитания. В алгебраическом выражении есть числа, переменные и действия между ними: \(3x^2-5x+1\).
Значение алгебраического выражения при заданных значениях переменных — это число, которое получается после замены переменных этими значениями и выполнения всех действий.
Например, при \(x=4\) значение выражения \(2x+3\) равно \(2\cdot4+3=11\). Одно и то же выражение может иметь разные значения при разных значениях переменной.
При подстановке числа вместо переменной сохраняются все действия и их порядок. Если подставляется отрицательное число, его заключают в скобки: при \(x=-2\) выражение \(x^2\) записывают как \((-2)^2\).
Алгоритм вычисления
Удобно действовать по плану. Он особенно важен в выражениях с дробями, степенями и несколькими переменными.
- Запишите, какие значения имеют переменные.
- Проверьте, допустима ли подстановка: знаменатели не должны обращаться в ноль, а подкоренные выражения при работе с действительными числами не должны быть отрицательными.
- Если возможно, выполните преобразование выражения к удобному виду до подстановки чисел.
- Замените каждую переменную её значением; отрицательные значения заключайте в скобки.
- Вычисляйте по порядку: скобки, степени и корни, умножение и деление, сложение и вычитание.
- Проверьте знак, примерный размер ответа и отсутствие арифметических ошибок.
Эти тождества часто помогают сначала упростить выражение. Правила степеней подробнее разобраны на странице упрощение степенных выражений. Если выражение содержит дробные степени, полезна страница значение выражения с дробными степенями.
Если в выражении есть общий множитель, вынесите его за скобки. Например, \(6x+9=3(2x+3)\). Так уменьшается количество действий и вероятность ошибки.
Чему равно выражение \(x^2-3x\) при \(x=-2\)?
Подстановка и порядок действий
При записи подстановки не пропускайте знак умножения там, где это повышает ясность. Например, вместо неясной записи \(3-2^2\) после подстановки \(x=-2\) в \(3+x^2\) пишите \(3+(-2)^2\). Степень относится ко всему числу в скобках.
В дробно-рациональном выражении сначала проверьте знаменатель. Для выражения выше нельзя брать значения, при которых \(x+y=0\). После подстановки чисел можно сократить дробь, если числитель и знаменатель имеют общий ненулевой множитель.
Разобранный пример
Найдём значение выражения \(\frac{a^2-4ab+4b^2}{a-2b}\) при \(a=7\) и \(b=2\). Наивная подстановка даст длинные вычисления, поэтому сначала заметим структуру числителя.
При данных \(a=7\), \(b=2\) знаменатель равен \(7-4=3\), то есть не равен нулю. Поэтому сокращение законно. Если бы \(a=2b\), исходная дробь была бы не определена, даже несмотря на формальное упрощение до \(a-2b=0\).
Формулы, которые ускоряют вычисления
Перед подстановкой полезно распознавать знакомые конструкции. Это особенно важно в заданиях, где числа подобраны так, чтобы выражение сворачивалось в квадрат или разность квадратов.
Если выражение задано формулой, подставляйте значения непосредственно в неё. Например, площадь прямоугольника вычисляют по формуле \(S=ab\), а при \(a=3{,}5\) и \(b=2\) получают \(S=3{,}5\cdot2=7\). Связанные случаи собраны на странице вычисление значения выражения по формуле.
Нельзя сокращать слагаемые. В выражении \(\frac{x+2}{x}\) нельзя убрать \(x\) в числителе и знаменателе. Сокращают только множители, например \(\frac{x(x+2)}{x}=x+2\) при \(x\ne0\).
Частые ошибки и проверка ответа
1. Потеря скобок: \(-3^2=-9\), но \((-3)^2=9\).<br>2. Неверный знак при умножении: \((-2)\cdot(-5)=10\).<br>3. Нарушение порядка действий: сначала выполняют умножение, а не сложение.<br>4. Деление на ноль: выражение с нулевым знаменателем не имеет значения.<br>5. Ошибка в формуле: в \((a-b)^2\) средний член равен \(-2ab\), а не \(-ab\).<br>6. Округление слишком рано: сначала считайте точно, а округляйте только в конце, если это требуется.
Для самопроверки вычислите результат вторым способом: сначала подставьте числа напрямую, а затем упростите выражение и подставьте после преобразований. Если ответы совпали, вероятность ошибки меньше. В задачах на оценку результата пригодится оценка значения выражения, а для определения положительности или отрицательности — знак значения выражения.
Если переменная входит в знаменатель, корень или показатель степени, отдельно выпишите ограничения. Это связывает вычисление с алгоритмом вычисления значения выражения и помогает не принять недопустимое значение за ответ.
Итоговая тренировка
Проверь себя
Главное
- Значение выражения получают заменой переменных числами и выполнением действий по правилам.
- Перед подстановкой ищите формулы сокращённого умножения и общий множитель.
- Отрицательные значения переменных заключайте в скобки.
- Сначала вычисляйте скобки, степени, умножение и деление, затем сложение и вычитание.
- Проверяйте область допустимых значений: знаменатель не равен нулю, а корень имеет допустимый подкоренный выражение.
- Для контроля сравнивайте прямую подстановку с вычислением после упрощения.