Вычисление значения выражения по формуле
Чтобы найти значение выражения по формуле, нужно подставить известные данные вместо переменных, выполнить действия в правильном порядке и проверить, допустимы ли эти значения. Надёжный способ решения — сначала определить область допустимых значений, затем при необходимости упростить формулу и только после этого считать.
Что означает вычислить значение выражения
Алгебраическое выражение состоит из чисел, переменных и знаков действий. Если переменным придать конкретные значения, выражение превращается в числовое, и его можно вычислить. Например, при \(a=3\) значение выражения \(2a^2-5\) равно \(2\cdot 3^2-5=13\).
Значение выражения — число, которое получается после подстановки допустимых значений переменных и выполнения всех действий.
Формула задаёт зависимость между величинами. Например, площадь прямоугольника вычисляют по формуле \(S=ab\), где \(a\) и \(b\) — длины сторон. Если \(a=4\) см, \(b=7\) см, то \(S=4\cdot7=28\) см².
При подстановке отрицательного числа, дроби или выражения в степень используйте скобки: \((-2)^2\), \(\left(\frac{3}{5}\right)^2\), \((x-1)^3\). Скобки сохраняют структуру исходной формулы.
Алгоритм вычисления по формуле
- Запишите формулу и выпишите известные значения переменных вместе с единицами измерения, если они есть.
- Проверьте область допустимых значений выражения: знаменатели не должны равняться нулю, а подкоренные выражения чётных корней должны быть неотрицательными.
- При необходимости упростите формулу: раскройте скобки, приведите подобные слагаемые, сократите дробь или выполните разложение на множители.
- Подставьте данные. Отрицательные числа, дроби и составные выражения заключайте в скобки.
- Вычисляйте по порядку: скобки, степени и корни, умножение и деление, сложение и вычитание.
- Округлите результат только в конце, если это требуется условием, и укажите единицу измерения.
В простых формулах подстановку можно выполнить сразу. Но предварительное упрощение часто уменьшает количество вычислений и помогает избежать ошибок. Например, вместо вычисления \(\frac{6^2-2^2}{6-2}\) удобнее заметить разность квадратов: \(\frac{(6-2)(6+2)}{6-2}=8\).
Если в формуле есть общий множитель в числителе и знаменателе, сначала разложите части на множители и сократите. Сокращение допустимо только при условии, что сокращаемый множитель не равен нулю.
Область допустимых значений и упрощение
Перед вычислением полезно ответить на вопрос: при каких значениях переменных формула имеет смысл? Это особенно важно для дробных выражений, корней и выражений с переменной в основании степени. Подробные правила можно повторить на странице область допустимых значений выражения.
| Фрагмент формулы | Условие допустимости |
|---|---|
| \(\frac{A}{B}\) | \(B\ne0\) |
| \(\sqrt{A}\) | \(A\ge0\) |
| \(\frac{\sqrt{A}}{B}\) | \(A\ge0\) и \(B\ne0\) |
| \(\frac{1}{x-a}\) | \(x\ne a\) |
Равенство \(\frac{AC}{BC}=\frac{A}{B}\) верно при \(B\ne0\) и \(C\ne0\). После сокращения нельзя забывать ограничения исходного выражения.
Например, выражение \(\frac{x^2-9}{x-3}\) при \(x\ne3\) упрощается так: \(\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\). Однако при \(x=3\) исходная дробь не определена, хотя упрощённая запись даёт число 6. Поэтому упрощённое выражение нельзя использовать для запрещённого значения.
Нельзя считать, что если после преобразования получилась простая формула, то она разрешена при всех значениях. Всегда сохраняйте ограничения исходного выражения.
Разобранный пример
Найдите значение выражения \(\frac{a^2-b^2}{a-b}+\sqrt{c}\) при \(a=7\), \(b=2\), \(c=16\).
Обратите внимание: если подставлять данные сразу, получится \(\frac{49-4}{7-2}+4=\frac{45}{5}+4=13\). Оба пути правильны, но предварительное упрощение делает вычисления прозрачнее.
При \(x=2\) и \(y=-3\) чему равно \(x^2-2xy+y^2\)?
Как не ошибиться при подстановке
Большинство ошибок связано не с формулой, а с записью подстановки. Если переменная заменяется отрицательным числом, скобки обязательны: при \(x=-4\) выражение \(x^2\) превращается в \((-4)^2=16\), а не в \(-4^2=-16\). При подстановке дроби также ставьте скобки: \(3\left(\frac{2}{5}\right)\) и \(\left(\frac{2}{5}\right)^2\).
- Проверьте, что каждое обозначение заменено именно своим значением.
- Не путайте \(a^2+b^2\) и \((a+b)^2\).
- Соблюдайте порядок действий и не выполняйте сложение раньше умножения.
- Не округляйте промежуточные результаты без необходимости.
- Проверьте знак ответа и примерный порядок его величины.
1. Запись \(-3^2=9\) вместо правильного \(-3^2=-9\) или \((-3)^2=9\), в зависимости от исходной формулы. 2. Потеря минуса в выражении \(a-b\) при отрицательном \(b\). 3. Подстановка только в часть формулы. 4. Игнорирование нулевого знаменателя. 5. Неправильное округление корня или десятичной дроби.
Формулы, корни и составные выражения
В заданиях могут встречаться корни, дроби и несколько переменных. Если выражение содержит квадратный корень, сначала проверяют подкоренное выражение, затем используют свойства корней. При необходимости повторите корень из степени и модуль при извлечении корня. Для более сложных записей полезны страницы двойной радикал и значение выражения с дробными степенями.
Например, при \(t=-5\) значение \(\sqrt{t^2}\) равно \(\sqrt{25}=5\), а не \(-5\). Это связано с тем, что арифметический квадратный корень по определению неотрицателен.
Если точное значение корня известно, оставляйте его точным: \(\sqrt{49}=7\), \(\sqrt{2}\) не заменяйте приближённо без требования условия. Приближение записывают только на последнем шаге.
Самопроверка и связь с другими темами
Если формула дана в условии задачи, сначала выделите искомую величину и только затем подставляйте данные. Для преобразований выражений пригодится страница вычисление значения алгебраического выражения, а правила самой подстановки разобраны в подстановке значений в формулу. Если требуется не только вычислить, но и преобразовать выражение, переходите к решению задач на преобразование выражений.
Быстрый тест
Главное
- Сначала проверьте область допустимых значений, затем подставляйте данные.
- Отрицательные числа, дроби и выражения в степенях записывайте в скобках.
- Предварительное разложение на множители и сокращение часто упрощают вычисления.
- Ограничения исходной формулы сохраняются после упрощения.
- Корень \(\sqrt{a^2}\) равен \(|a|\), а результат округляют только в конце.