Область допустимых значений выражения
Область допустимых значений выражения (ОДЗ) — это все значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Ограничения появляются прежде всего при делении и извлечении корня чётной степени.
Как находят ОДЗ
Сначала рассматривают структуру алгебраического выражения и находят действия, которые могут быть невыполнимы. Затем записывают ограничения на переменные и объединяют их. Сложение, вычитание и умножение сами по себе ограничений не создают.
Для дроби знаменатель не должен равняться нулю. Для корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(\sqrt{x}\) существует при \(x\ge 0\). Корни нечётной степени, например \(\sqrt[3]{x}\), определены при любых действительных \(x\).
Найдём ОДЗ выражения \(\frac{\sqrt{x-2}}{x+1}\). Из условия существования корня получаем \(x-2\ge 0\), то есть \(x\ge 2\). Знаменатель не равен нулю: \(x+1\ne 0\), то есть \(x\ne -1\). При \(x\ge 2\) второе ограничение выполняется автоматически. Поэтому ОДЗ: \(x\in[2;+\infty)\).
ОДЗ выражения и область значений выражения — разные понятия. ОДЗ отвечает на вопрос, какие значения может принимать переменная. Область значений показывает, какие результаты может принимать само выражение. Например, для \(\sqrt{x}\) ОДЗ: \(x\ge 0\), а значения выражения также неотрицательны.
Какое условие задаёт ОДЗ выражения \(\frac{1}{x-5}\)?
Главное
- ОДЗ — все значения переменных, при которых выражение имеет смысл.
- В знаменателе записывают условие \(B\ne 0\), а под корнем чётной степени — условие \(A\ge 0\).
- ОДЗ не следует путать с областью значений выражения.