Алгебраическая дробь
Алгебраическая дробь — это выражение, записанное в виде отношения двух многочленов или выражений, содержащих переменные. На этой странице разберём её строение, область допустимых значений и основные действия: сокращение, приведение к общему знаменателю, сложение, умножение и деление.
Строение алгебраической дроби
Алгебраическая дробь имеет вид отношения \(\frac{A}{B}\), где \(A\) — числитель, а \(B\) — знаменатель. Буквы в числителе и знаменателе обозначают переменные, а \(A\) и \(B\) могут быть одночленами, многочленами или более сложными выражениями.
Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и знаменателе которой находятся алгебраические выражения, причём знаменатель не должен обращаться в ноль.
Например, \(\frac{3x-2}{x+5}\) и \(\frac{x^2-9}{2x}\) — алгебраические дроби. Выражение \(\frac{7}{4}\) является числовой дробью и одновременно частным случаем алгебраической дроби.
Перед преобразованиями полезно изучить область допустимых значений выражения. Для самой дроби главное условие получают из знаменателя: его приравнивают к нулю и исключают найденные значения переменной.
Алгебраическая дробь определена только при тех значениях переменных, при которых её знаменатель не равен нулю. При преобразовании дроби нельзя забывать исходные ограничения.
ОДЗ и равенство дробей
Рассмотрим дробь \(\frac{x+1}{x-3}\). Знаменатель равен нулю при \(x=3\), поэтому \(x\ne3\). Это ограничение сохраняется даже после сокращения дроби. Например, выражение \(\frac{x^2-9}{x-3}\) можно сократить до \(x+3\), но исходная дробь по-прежнему не имеет смысла при \(x=3\).
Две алгебраические дроби равны, если они имеют одинаковые значения при всех общих допустимых значениях переменных. При проверке равенства нужно учитывать не только полученный после преобразования вид, но и ОДЗ исходного выражения.
Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, значение дроби не изменится. Делить можно только на выражение, которое не равно нулю на рассматриваемой области.
Подробные правила поиска ограничений собраны на странице ОДЗ алгебраической дроби. Если знаменатель содержит произведение, достаточно запретить нулю каждый его множитель.
Основные преобразования
Первое важное действие — разложение на множители. Оно позволяет увидеть одинаковые множители в числителе и знаменателе. Напомним, что степень многочлена определяется по старшему одночлену; при работе со степенями могут пригодиться страницы степень многочлена и степень одночлена.
После разложения дробь сокращают: одинаковый множитель убирают из числителя и знаменателя. Нельзя сокращать отдельные слагаемые через знак плюс или минус.
Если знаменатели различаются, дроби сначала приводят к общему знаменателю. Процесс подробно описан на странице приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. После этого применяют правила сложения и вычитания алгебраических дробей.
При умножении перемножают числители и знаменатели, а затем сокращают общие множители. При делении вторую дробь заменяют обратной и выполняют умножение. Подробные алгоритмы приведены в материалах умножение и деление алгебраических дробей.
Знак дроби можно менять двумя способами: вынести минус перед дробью или изменить знаки одновременно в числителе и знаменателе. Это правило важно при приведении подобных выражений.
Подробнее о таких преобразованиях рассказано на странице изменение знаков в алгебраической дроби. Дроби, внутри которых находятся другие дроби, называют сложными; для них используют отдельный алгоритм сложной алгебраической дроби.
Какое значение нельзя подставлять в выражение \(\frac{x^2-4}{x-2}\)?
Разобранный пример: упростить дробь
Упростим выражение \(\frac{x^2-9}{x^2-6x+9}\) и укажем его ОДЗ.
Проверка полезна: например, при \(x=0\) исходная дробь равна \(\frac{-9}{9}=-1\), а упрощённая — \(\frac{3}{-3}=-1\). Значения совпадают.
1) Найдите ОДЗ исходного выражения. 2) Разложите многочлены на множители. 3) Сократите только общие множители. 4) Приведите подобные слагаемые. 5) Запишите ответ вместе с ограничениями.
Частые ошибки и контроль ответа
Неверно: \(\frac{x+3}{x}=3\). Сокращать можно только множители: \(\frac{x(x+3)}{x}=x+3\) при \(x\ne0\). Знаки плюс и минус не превращают слагаемые в множители.
Из \(\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\) нельзя сделать вывод, что выражения равны при всех \(x\). Исходная дробь не определена при \(x=3\), поэтому правильная запись: \(x+3\), \(x\ne3\).
При вынесении минуса из скобок знаки всех слагаемых меняются: \(-(x-4)=-x+4\). Ошибка в одном знаке меняет весь результат.
Полное упрощение выражений с несколькими дробями требует соблюдения порядка действий: сначала определяют ОДЗ, затем раскладывают на множители, выполняют умножение или деление, приводят к общему знаменателю и только после этого складывают подобные слагаемые. Дополнительные примеры есть на странице упрощение выражений с алгебраическими дробями.
Quick-test
Проверь себя
Главное
- Алгебраическая дробь имеет вид \(\frac{A}{B}\), где знаменатель \(B\ne0\).
- ОДЗ находят по знаменателю исходной дроби; ограничения сохраняются после сокращения.
- Сокращать можно только общие множители, а не отдельные слагаемые.
- Для сложения используют общий знаменатель, для деления — умножение на обратную дробь.
- Перед окончательным ответом проверьте знаки, ОДЗ и возможность дальнейшего сокращения.