Умножение и деление алгебраических дробей
Умножение алгебраических дробей выполняют по правилу умножения обычных дробей: числители перемножают между собой, знаменатели — между собой. При делении первую дробь умножают на дробь, обратную второй, а результат при необходимости сокращают.
Основные формулы
Перед умножением полезно разложить числители и знаменатели на множители. Затем можно выполнить сокращение алгебраических дробей: общий множитель числителя и знаменателя заменяют единицей. Сокращать можно только множители, а не слагаемые.
Вычислим \(\frac{x^2-9}{2x}\cdot\frac{4}{x+3}\). Разложим разность квадратов: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Тогда \(\frac{(x-3)(x+3)}{2x}\cdot\frac{4}{x+3}=\frac{2(x-3)}{x}\). Ограничения: \(x\ne0\) и \(x\ne-3\).
Чтобы разделить дроби, оставьте первую дробь без изменения, знак деления замените знаком умножения, а вторую дробь переверните. После этого разложите выражения на множители и сократите общие множители.
Нельзя сокращать слагаемые: в выражении \(\frac{x+3}{x}\) нельзя зачеркнуть \(x\). Сокращение возможно только после разложения числителя на множители, например в дроби \(\frac{x(x+3)}{x}\) при \(x\ne0\).
Как преобразовать выражение \(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}\)?
Если вторая дробь содержит многочлен, при делении переворачивается вся дробь, а не отдельное слагаемое. При преобразованиях также нужно сохранять ограничения на переменные. Алгебраическая дробь не имеет смысла при нулевом знаменателе; более сложный случай рассматривают в теме сложная алгебраическая дробь.
Главное
- При умножении перемножают числители и знаменатели.
- При делении вторую дробь заменяют обратной и умножают.
- Сначала раскладывают выражения на множители, затем сокращают только общие множители и записывают ограничения на переменные.