ЕГЭОГЭ
Задания № 14, 15 · ЕГЭ

Упрощение выражений с алгебраическими дробями

Алгоритм сокращения, сложения и преобразования выражений с алгебраическими дробями
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Чтобы найти значение выражения с алгебраическими дробями, недостаточно механически сокращать числитель и знаменатель. Сначала определите ОДЗ, затем разложите многочлены на множители, приведите дроби к общему знаменателю и только после этого подставьте значение переменной.

1. Что нужно проверить перед преобразованиями

Алгебраическая дробь — это выражение вида \(\frac{A}{B}\), где \(A\) и \(B\) — алгебраические выражения, а \(B\) не должно равняться нулю. Подробно понятие разобрано на странице алгебраическая дробь.

D
ОДЗ дробного выражения

Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Для каждой дроби нужно потребовать, чтобы её знаменатель был отличен от нуля.

\[B(x)\ne 0\]

Например, для \(\frac{x+1}{x-3}\) условие ОДЗ имеет вид \(x\ne3\). Если выражение содержит несколько дробей, ограничения выписывают для каждого знаменателя.

!
Частая ошибка

После сокращения дроби нельзя забывать исходное ограничение. Например, \(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\) только при \(x\ne3\). При \(x=3\) исходная дробь не определена, хотя полученное выражение имеет значение 6.

  1. Выпишите все знаменатели исходного выражения.
  2. Приравняйте каждый знаменатель к нулю и найдите запрещённые значения.
  3. Запишите ОДЗ до начала сокращения.
  4. Преобразуйте выражение, сохраняя эти ограничения.

2. Сокращение и разложение на множители

Сокращают не отдельные слагаемые, а общие множители числителя и знаменателя. Поэтому перед сокращением многочлены нужно разложить на множители. Повторите правила сокращения алгебраических дробей.

\[\frac{A\cdot C}{B\cdot C}=\frac{A}{B},\qquad C\ne0\]

Чаще всего применяются вынесение общего множителя за скобки, формулы сокращённого умножения и разложение квадратного трёхчлена.

\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]
\[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\]
\[a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\]

Если перед скобкой стоит минус, при вынесении общего множителя знаки внутри скобок меняются: \(-(a-b)=b-a\). Это связано с изменением знаков в алгебраической дроби.

T
Правило допустимого сокращения

Сократить дробь можно только после представления числителя и знаменателя в виде произведений. Нельзя сокращать слагаемые в сумме: выражение \(\frac{x+2}{x}\) не превращается в \(\frac{2}{1}\).

Полезный приём: если общий множитель не виден, сначала вынесите минус или общий коэффициент. Например, \(1-x=-(x-1)\), поэтому множители \(1-x\) и \(x-1\) отличаются только знаком.

3. Сложение и вычитание дробей

Дроби с одинаковыми знаменателями складывают или вычитают по правилу: знаменатель сохраняют, а числители складывают или вычитают. Для разных знаменателей сначала находят общий знаменатель. Порядок подробно разобран в материале сложение дробей с разными знаменателями.

\[\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C},\qquad C\ne0\]
\[\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{AD+BC}{BD},\qquad B\ne0,\ D\ne0\]

На практике общий знаменатель выбирают как произведение всех различных множителей, входящих в знаменатели, взятых в наибольших степенях. Затем каждый числитель домножают на недостающий множитель.

Как не запутаться со знаками

Записывайте вычитание как прибавление противоположного выражения: \(\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\frac{-C}{D}\). После раскрытия скобок внимательно меняйте знаки всех слагаемых.

Микропроверка

Какой общий знаменатель удобно выбрать для выражения \(\frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2}\)?

4. Универсальный алгоритм преобразования

В заданиях на преобразование выражений и на поиск значения удобно действовать по одному алгоритму. Он подходит и для обычных дробей, и для сложных выражений, в которых дроби соединены знаками \(+\), \(-\), \(\cdot\) или \(:\).

  1. Найти ОДЗ исходного выражения.
  2. Разложить на множители числители и знаменатели.
  3. Сократить общие множители, учитывая ограничения ОДЗ.
  4. Если дроби складываются или вычитаются, найти общий знаменатель.
  5. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
  6. Снова разложить результат на множители и сократить, если это возможно.
  7. Только в конце подставить заданное значение переменной.
Запомните порядок действий

ОДЗ → разложение на множители → общий знаменатель → преобразование → сокращение → подстановка. Такой порядок уменьшает риск потерять запрещённое значение или допустить ошибку в знаках.

5. Разобранный пример экзаменационного уровня

Упростим выражение и найдём его значение при \(x=2\):

\[\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^2-1}\right)\cdot\frac{x+1}{x}\]
№
Решение

Сначала определим ОДЗ. Знаменатели \(x-1\), \(x^2-1\) и \(x\) не должны обращаться в ноль.

1
Выписываем ограничения из знаменателей: \(x-1\ne0\), \(x^2-1\ne0\), \(x\ne0\).
\(\displaystyle x\ne1,\quad x\ne-1,\quad x\ne0\)
2
Разложим разность квадратов в знаменателе второй дроби.
\(\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1)\)
3
Приведём две дроби в скобках к общему знаменателю \((x-1)(x+1)\). Первую дробь домножаем на \(x+1\).
\(\displaystyle \frac{x}{x-1}-\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{x(x+1)-1}{(x-1)(x+1)}\)
4
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.
\(\displaystyle \frac{x^2+x-1}{(x-1)(x+1)}\)
5
Умножаем на вторую дробь и сокращаем общий множитель \(x+1\), помня, что \(x\ne-1\).
\(\displaystyle \frac{x^2+x-1}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{x+1}{x}=\frac{x^2+x-1}{x(x-1)}\)
6
Подставляем \(x=2\). Это значение не запрещено ОДЗ.
\(\displaystyle \frac{2^2+2-1}{2(2-1)}=\frac{5}{2}\)

Ответ: \(\frac{5}{2}\). Обратите внимание: в этом примере сокращение стало возможным только после разложения \(x^2-1\) на множители и приведения дробей к общему знаменателю.

6. Особые случаи и проверка результата

Если выражение содержит дробь в знаменателе, возникает сложная алгебраическая дробь. Её обычно преобразуют умножением числителя и знаменателя всей конструкции на общий знаменатель внутренних дробей.

При работе со степенями следите за скобками: \(x^2\) и \((x-1)^2\) — разные выражения. Для преобразований степенных выражений полезны правила преобразования степенных выражений и степени степени.

!
Четыре типичные ошибки

1) Сокращают слагаемые вместо множителей. 2) Складывают знаменатели при сложении дробей. 3) Теряют минус перед скобками. 4) Подставляют запрещённое значение после формального сокращения.

  • Проверены все исходные знаменатели.
  • Многочлены разложены на множители, где это возможно.
  • При сложении найден общий знаменатель.
  • Сокращены только общие множители.
  • Подстановка выполнена после преобразований и проверки ОДЗ.

Быстрая проверка

Q
Быстрый тест по теме

Проверьте себя

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · ОДЗ
Каково ОДЗ дроби \(\frac{x+2}{x^2-9}\)?
Главное за минуту

Главное

  • Алгебраическую дробь преобразуют только при ненулевом знаменателе; ограничения образуют ОДЗ.
  • Сокращают общие множители, а не отдельные слагаемые. Для этого многочлены раскладывают на множители.
  • При сложении дробей с разными знаменателями находят общий знаменатель и домножают числители на недостающие множители.
  • Надёжный порядок решения: ОДЗ, разложение, общий знаменатель, упрощение, сокращение, подстановка.
  • После сокращения исходные ограничения сохраняются, даже если в новой записи запрещённое значение не видно.