Преобразования степенных выражений
Преобразование степенных выражений сводится к распознаванию основания и показателя, применению законов степеней и проверке допустимых значений. Эта страница помогает упростить произведения, частные и степени с целыми и дробными показателями; перед началом полезно повторить законы степеней и дробную степень.
Что такое показатель степени
В записи \(a^n\) число \(a\) называют основанием степени, а число \(n\) — показателем степени. Показатель показывает, сколько раз основание участвует в произведении, если он натуральный: \(a^4=a\cdot a\cdot a\cdot a\). В выражении \(x^{\frac{3}{5}}\) показатель дробный: числитель связан со степенью, а знаменатель — с корнем.
Степень с целым показателем — выражение \(a^n\), где \(n\in\mathbb Z\). При \(n<0\) используют правило \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), поэтому основание должно быть ненулевым. Степень с дробным показателем задают равенством \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) при условиях, гарантирующих существование корня.
В школьных преобразованиях важно отличать показатель от основания: например, в \(7^{\frac{2}{3}}\) показатель равен \(\frac{2}{3}\), а основание — \(7\). Если степень имеет вид \((-a)^n\), знак основания входит в степень; если записано \(-a^n\), минус относится ко всему результату степени.
Основные законы степеней
Законы степеней применяют к одинаковым основаниям или к одинаковым показателям. Сначала удобно разложить числа и одночлены на множители, затем собрать степени. Дробные показатели можно преобразовывать в корни, но часто удобнее работать непосредственно с показателями.
При допустимых значениях переменных выполняются правила: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются; при делении — вычитаются; при возведении степени в степень показатели перемножаются; степень произведения можно распределить по множителям.
Эти правила сохраняются и для дробных показателей, если выражения определены. Например, \(x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{3}{2}}=x^2\). Однако для чётного корня необходимо учитывать ОДЗ корня чётной степени: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Упростите \(a^{\frac{5}{6}}\cdot a^{\frac{1}{6}}\) при допустимых значениях \(a\).
Алгоритм упрощения выражения
- Проверить ОДЗ: знаменатели не равны нулю, а подкоренные выражения чётной степени неотрицательны.
- Привести степени к удобному виду: разложить основания на простые множители, заменить корни дробными показателями или наоборот.
- Сгруппировать степени с одинаковыми основаниями и применить сложение или вычитание показателей.
- Для степени степени перемножить показатели; для произведения или частного раскрыть степень по множителям при необходимости.
- Заменить отрицательные показатели дробями и сократить результат.
- Проверить, не потеряны ли ограничения на переменные и не изменён ли знак выражения.
Если основания числовые, сначала представьте их как степени простых чисел: \(8=2^3\), \(25=5^2\), \(16=2^4\). Тогда выражение часто превращается в одну степень с одинаковым основанием.
Разобранный пример
Упростим выражение \(\frac{(8x^6)^{\frac{1}{3}}\cdot x^{-2}}{2x^{\frac{1}{2}}}\) при \(x>0\). Условие \(x>0\) позволяет без дополнительных оговорок складывать дробные показатели и означает, что знаменатель не равен нулю.
Итак, \(\frac{(8x^6)^{\frac{1}{3}}\cdot x^{-2}}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\) при \(x>0\). В последней записи можно оставить \(x^{-\frac12}\), если требуется ответ в степенной форме.
Дробные и отрицательные показатели
Дробный показатель переводят в корень по формуле \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\). Если показатель отрицательный, сначала можно вынести минус в знаменатель: \(a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}\). В реальных выражениях с чётным корнем обычно требуется \(a\ge0\), а при отрицательном показателе дополнительно \(a\ne0\).
При преобразованиях с переменными нельзя бездумно заменять \(\sqrt{x^2}\) на \(x\): правильное равенство — \(\sqrt{x^2}=|x|\). Для нечётного корня знак сохраняется: \(\sqrt[3]{x^3}=x\). Подробнее свойства корней рассматриваются на страницах свойства корня нечётной степени и нулевое и отрицательное основания степени.
1. Нельзя складывать показатели при сложении: \(a^m+a^n\ne a^{m+n}\). 2. Нельзя писать \((a+b)^n=a^n+b^n\) для произвольного натурального \(n\). 3. В выражении \((-2)^4\) результат положителен, а в \(-2^4\) — отрицателен. 4. При делении степеней основание должно быть ненулевым. 5. При сокращении \(\frac{x^m}{x^n}\) нельзя забывать ограничение \(x\ne0\).
Связь со следующими темами
Эта страница входит в тему степенное выражение. Если нужно отдельно преобразовать \((a^m)^n\), полезна страница степень степени. Для выражений, где степени стоят в числителе и знаменателе, применяются также правила упрощения выражений с алгебраическими дробями. Свойства корня из произведения и частного помогут перейти между радикалами и дробными показателями.
Проверка перед ответом
После преобразований подставьте, если возможно, простое допустимое значение переменной и сравните исходное выражение с результатом. Такая проверка не заменяет доказательство, но быстро обнаруживает ошибку в знаке, показателе или сокращении. Если в условии требуется только число, доведите вычисления до числового результата; если требуется выражение, укажите ограничения на переменные.
Быстрый тест
Главное
- Показатель — верхний индекс степени; он определяет правило преобразования выражения.
- При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.
- Дробный показатель переводится в корень: \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\); отрицательный показатель означает обратную степень.
- Всегда проверяйте ОДЗ, особенно при чётных корнях, нулевых основаниях и переменных в знаменателе.
- Не распространяйте законы степеней на сумму: сначала раскройте скобки по известным формулам или оставьте сумму без ошибочного преобразования.