Задания № 6, 10 · ЕГЭ

Нулевая и отрицательная основания степени

Как определить, существует ли степень с основанием 0 или отрицательным основанием

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Степень с нулевым или отрицательным основанием существует не при любых показателях. В школьной алгебре сначала определяют знак и вид основания, затем проверяют показатель: натуральный, нулевой, отрицательный или дробный.

Нулевое основание — основание, равное \(0\); отрицательное основание — основание, меньшее нуля. При натуральном показателе \(n\) степень \(a^n\) определена как произведение \(n\) одинаковых множителей. Для отрицательного основания знак результата зависит от чётности показателя, а для нулевого основания отрицательные показатели не допускаются.

Основные условия

При нулевом основании и натуральном показателе \(n>0\) имеем \(0^n=0\). Выражение \(0^0\) в школьных алгебраических преобразованиях обычно считают не определённым. Степень \(0^{-n}\) не существует, потому что отрицательный показатель означает деление на \(0^n\), а делить на ноль нельзя.

Для отрицательного основания и целого показателя степень существует: если показатель чётный, результат положителен, а если нечётный — отрицателен. Например, \((-3)^4=81\), но \((-3)^3=-27\). При отрицательном целом показателе основание также не должно быть нулём: \((-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}\).

\[0^n=0\ (n\in\mathbb{N});\qquad (-a)^{2k}>0,\quad (-a)^{2k+1}<0\ (a>0).\]

№

Пример

Определим, какие выражения существуют: \(0^5=0\) существует; \(0^{-2}\) не существует; \((-2)^6=64\) существует и положительно; \((-2)^5=-32\) существует и отрицательно.

Не путайте скобки и знак

\(-2^4\) и \((-2)^4\) — разные выражения. Сначала выполняется возведение в степень: \(-2^4=-(2^4)=-16\), а \((-2)^4=16\). Правила для отрицательного основания применяют только тогда, когда всё основание заключено в скобки.

Проверьте себя

Какое выражение не имеет смысла в школьной алгебре?

Главное за минуту

Главное

\(0^n\) существует и равна нулю при натуральном \(n>0\); \(0^0\) и \(0^{-n}\) в школьной алгебре не определены.
Степень отрицательного числа с целым показателем существует; чётный показатель даёт положительный результат, нечётный — отрицательный.
Скобки обязательны: \(-a^n\) и \((-a)^n\) — разные выражения.