Сравнение степеней
Сравнение степеней — это определение того, какое из двух степенных выражений больше, меньше или равно другому. Обычно выражения приводят к общему основанию или показателю, а затем используют свойства степени и монотонность функций.
Основные приёмы
1. Общее основание. Если основания можно представить как степени одного числа, сравнивают показатели. Например, \(8^2=(2^3)^2=2^6\), а \(4^3=(2^2)^3=2^6\), поэтому \(8^2=4^3\). Такие преобразования опираются на законы степеней.
2. Общий показатель. Если показатели одинаковы, сравнивают основания. При натуральном \(n\) функция \(x^n\) возрастает на положительных числах, поэтому из \(a>b>0\) следует \(a^n>b^n\).
3. Монотонность. Функция \(a^x\) при \(a>1\) возрастает: большему показателю соответствует большее значение. При \(0<a<1\) она убывает: большему показателю соответствует меньшее значение.
4. Сравнение с единицей. Для \(a>1\) степень \(a^n\) больше \(1\) при \(n>0\) и меньше \(1\) при \(n<0\). Для \(0<a<1\) порядок меняется. При отрицательных основаниях дополнительно учитывают чётность показателя; это связано с нулевыми и отрицательными основаниями степени.
Сравним \(3^{20}\) и \(9^9\). Представим второе выражение через основание \(3\): \(9^9=(3^2)^9=3^{18}\). Так как основание \(3>1\) и \(20>18\), получаем \(3^{20}>3^{18}\), значит, \(3^{20}>9^9\).
Нельзя сравнивать показатели без учёта основания: при основании больше \(1\) больший показатель даёт большее значение, а при основании от \(0\) до \(1\) — меньшее. Также преобразования должны сохранять область допустимых значений; при необходимости используют преобразования степенных выражений.
Какое неравенство верно?
Главное
- Сначала ищите общее основание или общий показатель.
- При основании \(a>1\) степени сравниваются в том же порядке, при \(0<a<1\) — в обратном.
- Для отрицательных оснований учитывайте знак и чётность показателя.