Законы степеней
Законы степеней помогают преобразовывать выражения с одинаковыми основаниями: перемножать и делить степени, а также возводить степень в степень. В этой теме важно различать основание и показатель и помнить ограничения, связанные с нулем и делением.
Что такое степень и какие условия нужны
Степень с натуральным показателем — это произведение нескольких одинаковых множителей. В записи \(a^n\) число \(a\) называют основанием степени, а число \(n\) — показателем степени. Само выражение \(a^n\) показывает, что основание \(a\) повторяется множителем \(n\) раз. Подробное определение приведено на странице степень с натуральным показателем.
Например, \(3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81\). Если основание отрицательное, скобки обязательны: \((-2)^4=16\), но \(-2^4=-(2^4)=-16\). В школьных задачах часто рассматривают натуральные показатели, а затем расширяют правила на нулевые и целые показатели.
В формулах ниже основания должны быть одинаковыми, если речь идёт о произведении или частном степеней. Показатели при умножении складываются, при делении вычитаются.
Произведение степеней с одинаковыми основаниями
При умножении степеней с одним и тем же основанием основание сохраняется, а показатели складываются. Это правило является частным случаем умножения степеней с одинаковыми основаниями.
Почему это работает? В левой части каждый множитель равен \(a\), поэтому всего получается \(m+n\) одинаковых множителей. Основания складывать или перемножать нельзя: меняется только число повторений основания.
\(x^5\cdot x^2=x^{5+2}=x^7\). Основание \(x\) осталось прежним, а показатели \(5\) и \(2\) сложились.
Если основания разные, правило напрямую не применяется. Например, \(2^3\cdot3^3\) можно объединить по другому закону: \(2^3\cdot3^3=(2\cdot3)^3=6^3\), то есть здесь используется степень произведения, а не сложение показателей.
Как упростить выражение \(y^4\cdot y^6\)?
Частное степеней с одинаковыми основаниями
При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием основание сохраняется, а из показателя числителя вычитается показатель знаменателя. Подробный частный случай разобран на странице деление степеней с одинаковыми основаниями.
Условие \(a\ne0\) необходимо: делить на ноль нельзя. Если \(m>n\), результат имеет натуральный показатель. Если \(m=n\), получаем \(a^0=1\) при \(a\ne0\). Если \(m<n\), показатель \(m-n\) отрицательный, и появляется обратная степень: \(a^{-k}=\frac{1}{a^k}\).
Упростим выражение \(\frac{3^7\cdot3^2}{3^5}\) и найдём его значение.
Показать решение по шагам
Ответ: \(81\).
Если в частном основания разные, сначала нужно проверить, нельзя ли разложить их на общие множители или применить степень частного. Например, \(\frac{2^4}{3^4}=\left(\frac{2}{3}\right)^4\), но показатели здесь не вычитаются, потому что основания \(2\) и \(3\) различны.
Степень степени
При возведении степени в степень основание сохраняется, а показатели перемножаются. Это правило подробно связано со страницей степень степени.
Действительно, выражение \((a^m)^n\) означает, что степень \(a^m\) повторяется множителем \(n\) раз. Каждый из \(n\) множителей содержит \(m\) множителей \(a\), поэтому всего их \(m\cdot n\).
\((x^3)^4=x^{3\cdot4}=x^{12}\). Показатели \(3\) и \(4\) перемножились, а основание \(x\) осталось тем же.
Не путайте степень степени с произведением степеней: \(x^3\cdot x^4=x^7\), а \((x^3)^4=x^{12}\). Скобки полностью меняют действие.
Как применять законы в выражениях
При упрощении сложного степенного выражения действуйте последовательно. Сначала раскройте степени произведения или частного, если это удобно, затем объедините степени с одинаковыми основаниями, после этого выполните вычисления.
- Разложите составные основания или вынесите общий вид степени, если это возможно.
- Соберите произведения степеней с одинаковыми основаниями: показатели сложите.
- Соберите частные степеней с одинаковыми основаниями: показатели вычтите.
- Упростите степень степени: показатели перемножьте.
- Проверьте скобки, знаки и область допустимых значений.
| Действие | Закон | Пример |
|---|---|---|
| Умножение | \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) | \(x^2\cdot x^5=x^7\) |
| Деление | \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), \(a\ne0\) | \(\frac{y^8}{y^3}=y^5\) |
| Степень степени | \((a^m)^n=a^{mn}\) | \((z^2)^3=z^6\) |
| Нулевой показатель | \(a^0=1\), \(a\ne0\) | \(7^0=1\) |
1. Нельзя писать \(a^m+a^n=a^{m+n}\): законы степеней относятся к умножению, а не к сложению. 2. Нельзя заменять \((a^m)^n\) на \(a^{m+n}\) — показатели перемножаются. 3. В формуле частного нельзя забывать условие \(a\ne0\). 4. Выражения \((-a)^2\) и \(-a^2\) различаются по знаку. 5. При разных основаниях нельзя складывать или вычитать показатели.
После преобразования подставьте простое допустимое значение, например \(a=2\), и сравните исходное и полученное выражения. Это быстро обнаруживает ошибку в знаке или показателе, но не заменяет доказательство.
Мини-тест и итог
Проверьте себя
Главное
- При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\).
- При делении степеней с одинаковыми ненулевыми основаниями показатели вычитаются: \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\).
- При возведении степени в степень показатели перемножаются: \((a^m)^n=a^{mn}\).
- Сложение и вычитание показателей нельзя применять к суммам и степеням с разными основаниями.
- Для дальнейшего решения степенных выражений изучите степенное выражение, упрощение степенных выражений и преобразования степенных выражений.