Задание № 2 · ЕГЭ

Степень с нулевым основанием

Как вычислять степени с основанием 0 и почему показатель 0 требует ограничения

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Степень с нулевым основанием равна нулю, если показатель — положительное число: \(0^n=0\) при \(n>0\). Но выражение \(0^0\) в школьной математике считают не имеющим смысла, а степень \(0^{-n}\) не определена.

Степень с нулевым основанием — это выражение вида \(0^n\), где основание степени равно нулю, а \(n\) — её показатель. При положительном показателе произведение содержит хотя бы один множитель 0, поэтому результат равен 0. При нулевом или отрицательном показателе действуют ограничения: \(0^0\) не определено, а \(0^{-n}\) невозможно вычислить.

Основное правило

\[0^n=0\quad\text{при }n>0\]

Показатель \(n>0\) означает, что нуль умножается сам на себя положительное число раз. Например, \(0^3=0\cdot0\cdot0=0\). Это частный случай правил работы со основанием и показателем степени.

№

Пример

Вычислим \(0^5\). Показатель 5 положительный, значит, применяем правило: \(0^5=0\). Не нужно считать пять множителей отдельно.

Почему показатель 0 ограничен

Для любого ненулевого основания выполняется правило нулевой степени: \(a^0=1\) при \(a\ne0\). Однако подставить \(a=0\) нельзя, потому что условие \(a\ne0\) нарушается. Поэтому запись \(0^0\) в школьных алгебраических выражениях считают неопределённой, или не имеющей смысла.

Отрицательный показатель

Отрицательная степень определяется через обратное число: \(0^{-n}=\frac{1}{0^n}\) при \(n>0\). Так как деление на нуль невозможно, выражение \(0^{-n}\) не определено. Например, \(0^{-2}=\frac{1}{0^2}=\frac{1}{0}\) вычислить нельзя. Это важно отличать от степени отрицательного числа: отрицательное основание и нулевое основание — разные случаи.

Не путайте

Записи \(0^n\) и \(n^0\) различаются. При \(n\ne0\) выражение \(n^0=1\), а \(0^n=0\) только при \(n>0\). Нельзя переносить правило \(a^0=1\) на случай \(a=0\).

Проверьте себя

Каково значение выражения \(0^7\)?

Главное за минуту

Главное

\(0^n=0\) при положительном показателе \(n\).
\(0^0\) в школьной математике не определено, потому что правило \(a^0=1\) требует \(a\ne0\).
\(0^{-n}\) не определено: отрицательная степень приводит к делению на нуль.