Задания № 3, 15 · ЕГЭ

Степень суммы

Как не путать возведение суммы в степень с суммой степеней

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Степень суммы — это выражение, в котором сначала складывают слагаемые, а затем возводят полученную сумму в степень. Обычно степень суммы нельзя заменить суммой степеней слагаемых: при раскрытии скобок появляются дополнительные слагаемые.

Степень суммы

Выражение вида \((a+b)^n\), где \(a+b\) — сумма слагаемых, а \(n\) — показатель степени. Сначала выполняют действие в скобках, затем возводят результат в степень. При \(n=2\) используют формулу квадрата суммы.

Основные формулы

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

Для нескольких слагаемых применяется общее правило: квадрат суммы равен сумме квадратов всех слагаемых плюс удвоенные произведения каждой пары слагаемых. Например, квадрат суммы трёх слагаемых раскрывается так:

\[(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

№

Пример

Раскроем скобки: \((x+3)^2\). По формуле квадрата суммы получаем \(x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=x^2+6x+9\). Если сначала вычислить сумму при \(x=2\), то \((2+3)^2=25\); полученное выражение даёт \(2^2+6\cdot2+9=25\).

Не путайте

Степень суммы и сумма степеней — разные выражения: \((a+b)^2\ne a^2+b^2\). Например, \((2+3)^2=25\), а \(2^2+3^2=13\). Дополнительный член \(2ab\) нельзя пропускать. Аналогично, \((a+b)^3\) не равно \(a^3+b^3\).

Связь с многочленами

После раскрытия скобок степень суммы превращается в многочлен. Поэтому полезно знать страницу «Квадрат многочлена»: квадрат суммы — частный случай этого преобразования. Чтобы проверить результат, можно раскрыть скобки распределительным законом или подставить простые значения вместо букв.

Проверьте себя

Как правильно раскрыть выражение \((y+5)^2\)?

Главное за минуту

Главное

Степень суммы означает: сначала сложить слагаемые, затем возвести сумму в степень.
Квадрат суммы двух слагаемых: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
Нельзя заменять степень суммы суммой степеней: дополнительные смешанные слагаемые обязательны.