Задания № 3, 15 · ЕГЭ

Квадрат суммы трёх слагаемых

Формула раскрытия скобок для суммы трёх слагаемых

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Квадрат суммы трёх слагаемых — это произведение суммы на саму себя. Чтобы раскрыть такой квадрат, возводят в квадрат каждое слагаемое и прибавляют удвоенные произведения каждой пары слагаемых.

Квадрат суммы трёх слагаемыхСлово «квадрат» связано с умножением выражения самого на себя: $(a+b+c)^2=(a+b+c)\cdot(a+b+c)$.

Выражение вида $(a+b+c)^2$, где $a$, $b$ и $c$ — любые числа или алгебраические выражения. Его раскрывают по специальной формуле, являющейся частным случаем квадрата многочлена.

Формула

\[(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]1

В правой части три слагаемых возведены в квадрат: $a^2$, $b^2$ и $c^2$. Затем добавлены удвоенные произведения всех пар: $2ab$, $2ac$ и $2bc$. Важно не пропустить ни одну пару. Формула относится к степени суммы, но применяется именно к трём слагаемым.

№

Пример

Раскроем скобки в выражении $(x+2y+3)^2$. Здесь $a=x$, $b=2y$, $c=3$. По формуле получаем: $x^2+(2y)^2+3^2+2\cdot x\cdot2y+2\cdot x\cdot3+2\cdot2y\cdot3=x^2+4y^2+9+4xy+6x+12y$.

Не перепутайте

Нельзя записывать $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2$. В таком равенстве потеряны попарные произведения $2ab$, $2ac$ и $2bc$. Также не следует путать квадрат суммы с произведением суммы и разности: у этих выражений разные формулы.

Проверьте себя

Как раскрывается выражение $(x+y+1)^2$?

Главное за минуту

Главное

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$.
Нужно возвести в квадрат каждое слагаемое и добавить удвоенные произведения всех пар.
При раскрытии скобок проверьте, что учтены три квадрата и три попарных произведения.

Формула

Как раскрывается выражение \((x+y+1)^2\)?

Главное