Значение выражения с дробными степенями
Значение выражения с дробными степенями находят, заменяя дробную степень корнем, а затем вычисляя корень и целую степень. Основное правило: показатель \(\frac{m}{n}\) означает корень \(n\)-й степени и степень \(m\).
Переход к общей форме
Сначала представьте показатель в виде дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m\) и \(n\) — целые числа, а \(n>0\). Затем используйте связь, рассмотренную в теме корня как степени. Обычно удобно выбрать один из двух равносильных вариантов: сначала извлечь корень, затем возвести в степень, или сначала возвести подкоренное выражение в степень.
Если выражение содержит произведение или частное степеней с одинаковым основанием, сначала применяют правила степеней. Такие преобразования подробно рассматриваются в теме преобразований степенных выражений. После этого результат можно вычислить обычным способом. Это частный случай вычисления значения алгебраического выражения.
Найдём значение \(64^{\frac{2}{3}}\). Знаменатель показателя равен \(3\), поэтому берём кубический корень, а затем возводим результат в квадрат: \(64^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{64}\right)^2=4^2=16\).
Запись \(a^{\frac{m}{n}}\) не означает \(\frac{a^m}{n}\). Например, \(81^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{81}\right)^3=3^3=27\), а не \(\frac{81^3}{4}\). При чётном знаменателе также проверяйте область допустимых значений: в действительных числах \((-16)^{\frac12}\) не имеет значения.
Чему равно \(125^{\frac{2}{3}}\)?
Главное
- Представляйте дробный показатель как \(\frac{m}{n}\) и заменяйте его корнем: \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\).
- Можно сначала извлечь корень, а затем возвести результат в степень.
- При чётном показателе корня основание должно быть неотрицательным в области действительных чисел.