Свойства корня нечётной степени
Корень нечётной степени можно извлечь из любого действительного числа. При этом корень сохраняет знак подкоренного выражения: из положительного числа получается положительный корень, из отрицательного — отрицательный.
Основное свойство
Для любого действительного \(a\) и любого нечётного натурального \(n\) выражение \(\sqrt[n]{a}\) имеет смысл. Это связано с тем, что функция \(y=x^n\) при нечётном \(n\) принимает все действительные значения и каждому значению \(a\) соответствует ровно одно число \(x\).
Если \(a>0\), то \(\sqrt[n]{a}>0\); если \(a=0\), то \(\sqrt[n]{a}=0\); если \(a<0\), то \(\sqrt[n]{a}<0\). В частности, для нечётного \(n\) верно \(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\).
Рассмотрим \(\sqrt[3]{-125}\). Так как \((-5)^3=-125\), получаем \(\sqrt[3]{-125}=-5\). Знак минус сохраняется.
Арифметический корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах не существует. Для нечётной степени ограничений на знак подкоренного выражения нет: например, \(\sqrt[5]{-32}=-2\).
Это свойство является частью общих свойств корней и помогает быстро определять знак результата без вычислений. Условия для корней разных степеней полезно сравнивать с ОДЗ корня чётной степени.
Каково значение \(\sqrt[3]{-8}\)?
Главное
- Корень нечётной степени существует для любого действительного подкоренного выражения.
- Корень нечётной степени сохраняет знак подкоренного числа.
- Для любого нечётного \(n\) верно \(\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\).