Задание № 8 · ОГЭ

Корень из произведения

Правило вынесения множителей из-под арифметического квадратного корня

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Это правило помогает разбивать сложный радикал на более простые части и выполнять [[root-properties:преобразования арифметических корней]].

Для любых неотрицательных чисел \(a\) и \(b\) арифметический квадратный корень из их произведения равен произведению арифметических квадратных корней из множителей: \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\). Условие \(a\ge 0\) и \(b\ge 0\) необходимо, потому что арифметический квадратный корень в действительных числах определён только для неотрицательного подкоренного выражения.

Формула и условия применимости

\[\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad a\ge 0,\ b\ge 0\]

Правило можно применять в обе стороны. Например, произведение корней можно объединить под один знак: \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\). При преобразовании выражений важно учитывать [[even-root-domain:ОДЗ корня чётной степени]]: каждый корень должен иметь допустимое подкоренное выражение.

№

Пример

Упростим выражение \(\sqrt{50}\). Представим \(50\) как произведение неотрицательных множителей: \(50=25\cdot2\). Тогда \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}\).

Не путайте с произвольными множителями

Нельзя без проверки применять формулу к отрицательным множителям. Например, запись \(\sqrt{(-2)\cdot(-8)}=\sqrt{-2}\cdot\sqrt{-8}\) неверна в действительных числах: левый корень существует и равен \(4\), а правые корни не определены. Для выражений с переменными сначала проверяйте область допустимых значений, а затем выполняйте [[radical-equations-expression:преобразование выражения с радикалами]].

Проверьте себя

Как правильно упростить \(\sqrt{72}\)?

Главное за минуту

Главное

При \(a\ge0\) и \(b\ge0\) действует формула \(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\).
Чтобы упростить корень, выделяйте из подкоренного выражения полный квадрат.
Перед применением правила проверяйте неотрицательность множителей и ОДЗ.