Свойства арифметических корней
Свойства арифметических корней помогают преобразовывать выражения с радикалами: выносить множители из-под знака корня, вносить множители под корень и объединять корни в произведения. Основа темы — определение арифметического корня и правила работы с подкоренными выражениями.
Основные свойства корня
Арифметический корень степени \(n\) из числа \(a\) обозначают \(\sqrt[n]{a}\). Для чётного \(n\) подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(a\ge 0\). Для нечётного показателя ограничения на знак подкоренного выражения нет; подробнее это разобрано на странице о свойствах корня нечётной степени.
Если \(a\ge 0\) и \(b\ge 0\), то корень одной и той же степени можно объединить: \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\). Это правило называют свойством корня из произведения и применяют в обе стороны.
Обратное преобразование позволяет разложить подкоренное число на множители и найти среди них полную степень. Например, \(72=36\cdot2\), поэтому \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2\). Такой приём называют извлечением корня из-под знака.
При \(a\ge0\) и \(b>0\) справедливо \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac ab}\). Это свойство связано с корнем из частного.
Для \(a\ge0\) выполняется \(\sqrt[n]{a^n}=a\). В частности, \(\sqrt{a^2}=a\), а не \(\pm a\), потому что арифметический квадратный корень неотрицателен. Связь корней со степенями рассматривается также на странице корень из степени.
Вынесение множителя из-под корня
Чтобы вынести множитель из-под квадратного корня, представьте подкоренное выражение как произведение полного квадрата и оставшегося множителя. Затем примените правило произведения корней.
Если заранее известно, что \(a\ge0\), модуль можно заменить на \(a\): \(\sqrt{a^2b}=a\sqrt b\). Для корня степени \(n\) аналогично выносят множитель, являющийся полной \(n\)-й степенью.
- Разложите подкоренное число на множители.
- Выделите множитель — полную степень с показателем корня.
- Извлеките корень из полной степени.
- Оставьте остальные множители под знаком корня и упростите результат.
Упростим \(\sqrt{180}\). Разложим число: \(180=36\cdot5\). Так как \(36=6^2\), корень из 36 извлекается полностью.
Если под корнем стоит произведение переменных, действуют так же. Например, при \(x\ge0\) и \(y\ge0\): \(\sqrt{12x^2y}=\sqrt{4\cdot3\cdot x^2y}=2x\sqrt{3y}\).
Внесение множителя под знак корня
Внесение множителя — обратная операция. Неотрицательный множитель перед корнем представляют как корень из его полной степени, а затем объединяют корни.
Для квадратного корня правило имеет вид \(a\sqrt b=\sqrt{a^2b}\). Например, \(3\sqrt7=\sqrt{9\cdot7}=\sqrt{63}\). Внесение часто используют, чтобы сравнить радикалы с одинаковыми подкоренными выражениями или привести выражения к единому виду.
Формула \(a\sqrt b=\sqrt{a^2b}\) в таком виде требует \(a\ge0\). Если множитель отрицателен, например \(-2\sqrt3\), нельзя писать \(\sqrt{12}\): правильная запись — \(-\sqrt{12}\) или \(-\sqrt{2^2\cdot3}\).
Как правильно вынести множитель из выражения \(\sqrt{48}\)?
Преобразование произведений корней
Произведение корней можно объединять, если показатели корней совпадают. Так выражение становится корнем из произведения подкоренных выражений. Если показатели различны, сначала используют общий показатель или преобразуют корни через дробную степень.
Например, \(\sqrt6\cdot\sqrt{15}=\sqrt{90}=\sqrt{9\cdot10}=3\sqrt{10}\). Иногда выгоднее сначала вынести множители из каждого корня: \(\sqrt{12}\cdot\sqrt{18}=2\sqrt3\cdot3\sqrt2=6\sqrt6\).
При умножении корней степени 3 правило выглядит так: \(\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}=2\). Важно не смешивать показатели: выражение \(\sqrt2\cdot\sqrt[3]{2}\) нельзя объединить одной простой формулой без дополнительного преобразования.
Если подкоренные выражения легко перемножаются и после этого выделяется полный квадрат, объединяйте корни. Если каждый корень содержит удобный полный квадрат, сначала вынесите множители отдельно. Цель — получить наиболее простой вид.
Полный разбор экзаменационного типа
Упростим выражение \(\frac{\sqrt{75}\cdot\sqrt{12}}{\sqrt3}\).
Показать решение Разбор
Ответ: \(10\sqrt3\). Проверка другим способом: \(\sqrt{75}=5\sqrt3\), \(\sqrt{12}=2\sqrt3\), поэтому числитель равен \(30\), а \(30\div\sqrt3=10\sqrt3\).
Ограничения и типичные ошибки
Нельзя раскладывать сумму под корнем: \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\). Свойство произведения относится только к произведению, а не к сумме. Нельзя также забывать модуль: \(\sqrt{x^2}=|x|\), если знак \(x\) неизвестен.
- Проверяйте область допустимых значений: для чётного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
- При вынесении переменной учитывайте её знак: \(\sqrt{x^2}=|x|\).
- Не объединяйте корни с разными показателями без предварительного преобразования.
- После вынесения проверьте, не осталась ли под корнем полная квадратная или кубическая степень.
Главные формулы: \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\); \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac ab}\); \(a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}\) при \(a\ge0\); \(\sqrt{a^2}=|a|\).
После освоения этих правил переходите к упрощению выражений с корнями, а затем к сравнению корней и вычислению выражений с корнями. В задачах на знаменатель могут понадобиться рационализация знаменателя и сопряжённые выражения.
Быстрая проверка
Кратко
- Корни одной степени можно объединять в произведение или частное при соблюдении ограничений.
- Чтобы вынести множитель, выделите под корнем полную степень.
- Чтобы внести неотрицательный множитель, возведите его в степень, равную показателю корня.
- Всегда учитывайте знак переменной: \(\sqrt{x^2}=|x|\).
- Нельзя распространять свойства произведения на сумму: \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\).