Задания № 10, 15 · ЕГЭ

Корень из степени

Как извлекать корень из степени с учётом чётности показателя корня

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Корень из степени раскрывается по-разному в зависимости от того, чётный или нечётный показатель корня. При чётном показателе появляется модуль основания, а при нечётном сохраняется само основание.

Корень из степениСлово «корень» связано с обратным действием к возведению в степень.

Корнем из степени называют выражение вида \(\sqrt[n]{a^n}\), где \(n\) — натуральное число, а \(a\) — основание степени. Правило его упрощения определяется чётностью \(n\) и областью допустимых значений арифметического корня.

Перед применением правила полезно вспомнить законы степеней и общие свойства арифметических корней. Для корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Основное правило

\[\sqrt[n]{a^n}=\begin{cases}|a|, & n\text{ — чётное},\\a, & n\text{ — нечётное}.\]

Если \(n\) чётное, арифметический корень по определению неотрицателен, поэтому результатом является \(|a|\), а не всегда \(a\). Если \(n\) нечётное, корень существует при любом действительном \(a\) и возвращает исходное число, включая отрицательные значения.

№

Пример

Упростим выражения: \(\sqrt{x^2}=|x|\), потому что показатель корня равен \(2\); \(\sqrt[3]{x^3}=x\), потому что показатель корня равен \(3\). Например, \(\sqrt{(-5)^2}=5\), а \(\sqrt[3]{(-5)^3}=-5\).

Частая ошибка

Нельзя писать \(\sqrt{x^2}=x\) без условия \(x\ge0\). Правильно: \(\sqrt{x^2}=|x|\). Знак основания теряется при извлечении корня чётной степени, поэтому подробнее о модуле при извлечении корня стоит читать отдельно.

Проверь себя

Как упростить выражение \(\sqrt[4]{(2-x)^4}\)?

Главное за минуту

Главное

При чётном \(n\): \(\sqrt[n]{a^n}=|a|\).
При нечётном \(n\): \(\sqrt[n]{a^n}=a\).
Для корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным; модуль нельзя заменять основанием без условия о его знаке.