Задания № 10, 15 · ЕГЭ

Модуль при извлечении корня

Почему при извлечении корня из квадрата появляется знак модуля

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

При извлечении квадратного корня из выражения \(a^2\) получается не \(a\), а \(|a|\), потому что арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому знак выражения под корнем нужно учитывать отдельно.

Модуль при извлечении корняСлово «модуль» связано с понятием величины числа без учёта его знака.

Правило, по которому квадратный корень из квадрата действительного числа равен модулю этого числа: \(\sqrt{a^2}=|a|\). Модуль выбирает неотрицательное значение числа: \(|a|=a\) при \(a\ge 0\) и \(|a|=-a\) при \(a<0\).

Это правило связано с определением корня из степени и используется при извлечении корня. Если известно, что \(a\ge 0\), модуль можно раскрыть: \(\sqrt{a^2}=a\). Если \(a<0\), то \(\sqrt{a^2}=-a\), потому что \(-a>0\).

\[\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a, & a\ge 0,\\-a, & a<0.\end{cases}\]1

№

Пример

Вычислим \(\sqrt{(3-x)^2}\) при условии \(x>3\). Тогда \(3-x<0\), поэтому модуль раскрывается со сменой знака: \(\sqrt{(3-x)^2}=|3-x|=-(3-x)=x-3\).

Не путайте

Неверно писать \(\sqrt{a^2}=a\) без условия \(a\ge 0\). Например, \(\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5\), а не \(-5\). Также нельзя путать \(\sqrt{a^2}\) с корнем, у которого знак может быть отрицательным: арифметический квадратный корень по определению неотрицателен.

Проверьте себя

Чему равно \(\sqrt{(x-7)^2}\), если \(x<7\)?

Главное за минуту

Главное

\(\sqrt{a^2}=|a|\), потому что квадратный корень неотрицателен.
Модуль раскрывают по знаку выражения: при неотрицательном знаке — без изменений, при отрицательном — со сменой знака.
Перед преобразованием выражения определите знак того, что находится под квадратом.