Сравнение корней
Сравнение корней — это определение, какой из двух радикалов больше, меньше или равен другому. Для этого используют возведение в одну и ту же степень, приведение корней к общему показателю и монотонность степенной функции.
Основные способы
1. Возведение в степень. Если \(a\ge 0\) и \(b\ge 0\), то сравнение \(a\) и \(b\) равносильно сравнению их квадратов: \(a>b \Longleftrightarrow a^2>b^2\). Поэтому для сравнения \(\sqrt{7}\) и \(2\) достаточно заметить: \(7>2^2\), значит, \(\sqrt{7}>2\).
2. Общий показатель корня. Если показатели различны, корни можно представить с одинаковым показателем. Например, \(\sqrt[3]{4}=\sqrt[6]{16}\), а \(\sqrt{2}=\sqrt[6]{8}\). Поскольку \(16>8\), получаем \(\sqrt[3]{4}>\sqrt{2}\). При преобразовании используют свойства корня из степени.
3. Монотонность. Функция \(y=\sqrt[n]{x}\) при нечётном \(n\) возрастает на всей числовой прямой, а при чётном \(n\) возрастает на \([0;+\infty)\). Поэтому на соответствующей области верно: большему подкоренному выражению соответствует больший корень.
Сравним \(\sqrt[3]{10}\) и \(\sqrt[3]{8}\). Показатели одинаковы, а \(10>8\). Так как кубический корень — возрастающая функция, то \(\sqrt[3]{10}>\sqrt[3]{8}=2\).
Нельзя сравнивать подкоренные выражения без проверки условий. Для квадратных корней они должны быть неотрицательными. Кроме того, правило возведения в квадрат сохраняет порядок только для неотрицательных чисел; для отрицательных чисел оно может дать неверный вывод.
Как сравнить \(\sqrt{11}\) и \(3\)?
Главное
- Для неотрицательных чисел можно сравнивать корни возведением в одну и ту же степень.
- Корни с разными показателями удобно привести к общему показателю.
- Монотонность корня позволяет сравнивать подкоренные выражения, но для чётного корня нужно учитывать неотрицательность.