Рационализация знаменателя
Рационализировать знаменатель — значит преобразовать дробь так, чтобы в её знаменателе не осталось корня. Для этого используют основное свойство дроби и [[conjugate-expression:сопряжённое выражение]], не меняя значения дроби.
Рационализация основана на умножении дроби на единицу. Если умножить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение, значение дроби не изменится. Выбор множителя зависит от вида знаменателя. Свойства корней, необходимые для преобразований, рассматриваются на странице [[root-properties:свойствах арифметических корней]].
Основные формулы
В первом случае знаменатель умножают на тот же корень. Во втором случае используют выражение, сопряжённое знаменателю: для суммы меняют знак между слагаемыми, а для разности — наоборот. При этом применяют формулу разности квадратов: \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\).
Рационализируем знаменатель дроби \(\frac{3}{\sqrt{5}+2}\). Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{5}-2\):
\(\frac{3}{\sqrt{5}+2}\cdot\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}=\frac{3(\sqrt{5}-2)}{5-4}=3\sqrt{5}-6\).
Знаменатель стал рациональным: \(1\).
Рационализация не означает просто «вынести корень» или сократить его со знаменателем. Нельзя сокращать слагаемые в сумме: например, в \(\frac{1}{\sqrt{5}+2}\) корень нельзя сократить с числом \(2\). Для дробей с одним корнем действует отдельный приём [[rationalizing-simple-denominator:рационализации знаменателя с одним корнем]], а для двучлена — приём [[rationalizing-binomial-denominator:рационализации знаменателя с двучленом]].
На что нужно умножить числитель и знаменатель дроби \(\frac{1}{\sqrt{7}-3}\)?
Главное
- Рационализация устраняет корень из знаменателя, не изменяя значения дроби.
- Для знаменателя \(\sqrt{b}\) используют множитель \(\sqrt{b}\), а для двучлена \(\sqrt{a}\pm\sqrt{b}\) — сопряжённое выражение.
- После умножения обязательно упростите знаменатель и проверьте, что он не равен нулю.