Рационализация знаменателя с двучленом
Рационализация знаменателя с двучленом — это преобразование дроби, при котором корни в знаменателе устраняют умножением числителя и знаменателя на специальное сопряжённое выражение. Такой приём является частью рационализации знаменателя и применяется, когда в знаменателе стоит сумма или разность двух слагаемых, одно из которых содержит корень.
Сначала определяют двучлен в знаменателе. Если он имеет вид \(a+b\) или \(a-b\), его сопряжённым двучленом будет соответственно \(a-b\) или \(a+b\): знак между слагаемыми меняется на противоположный, а сами слагаемые остаются теми же.
Именно формула разности квадратов позволяет убрать корень. Например, если \(b=\sqrt{m}\), то \(b^2=m\), поэтому после умножения знаменатель становится рациональным числом или выражением без радикала. Чтобы значение дроби не изменилось, на сопряжённое выражение умножают одновременно числитель и знаменатель.
Рационализируем дробь \(\frac{1}{\sqrt{5}+2}\). Сопряжённый двучлен — \(\sqrt{5}-2\). Умножаем числитель и знаменатель на него: \(\frac{1}{\sqrt{5}+2}\cdot\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5})^2-2^2}=\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}-2\).
Сопряжённый двучлен не является обратным выражением и не получается заменой каждого слагаемого на противоположное. Для \(\sqrt{x}+3\) сопряжённым будет \(\sqrt{x}-3\), а не \(-\sqrt{x}-3\). Перед преобразованием также проверьте, что исходный знаменатель не равен нулю.
Какой множитель нужно выбрать для рационализации знаменателя \(\sqrt{7}-4\)?
Главное
- Для двучлена \(a+b\) сопряжённым является \(a-b\), а для \(a-b\) — \(a+b\).
- Умножают на сопряжённое выражение и числитель, и знаменатель; в знаменателе применяют формулу разности квадратов.
- После преобразования проверьте область допустимых значений: исходный знаменатель не должен быть равен нулю.