Задания № 10, 15 · ЕГЭ

Сопряжённые выражения

Определение, формула произведения и пример применения

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Сопряжённые выражения — это выражения, которые отличаются только знаком между двумя одинаковыми частями. Их произведение удобно находить по формуле разности квадратов: оно превращается в разность квадратов этих частей.

Выражения вида \(A+B\) и \(A-B\), где \(A\) и \(B\) — одинаковые алгебраические выражения, называются сопряжёнными. Слагаемые \(A\) и \(B\) могут содержать числа, переменные, степени и корни.

Формула

\[(A+B)(A-B)=A^2-B^2\]

При умножении сопряжённых выражений средние слагаемые взаимно уничтожаются: \(AB-AB=0\). Поэтому результатом становится разность квадратов частей \(A\) и \(B\). Важно сохранять скобки: если \(B=\sqrt{x}\), то \(B^2=(\sqrt{x})^2=x\) при допустимых значениях \(x\).

№

Пример

Упростим произведение \((3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})\). Здесь \(A=3\), \(B=\sqrt{5}\), поэтому применяем формулу сопряжённых выражений: \((3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=3^2-(\sqrt{5})^2=9-5=4\). Такие преобразования часто используются при рационализации знаменателя.

Проверь себя

Какая пара является сопряжённой?

Не путайте

Сопряжённые двучлены — частный случай сопряжённых выражений: в них оба выражения обязательно являются двучленами. В общем определении \(A\) и \(B\) сами могут быть сложными выражениями, например \(A=x^2+1\), \(B=\sqrt{y}\).

Главное за минуту

Главное

Сопряжённые выражения имеют вид \(A+B\) и \(A-B\).
Их произведение вычисляют по формуле \((A+B)(A-B)=A^2-B^2\).
При работе с корнями и дробями формула помогает сокращать выражения и выполнять рационализацию знаменателя.