Задания № 6, 7 · ЕГЭ

Вычисление выражений с корнями

Алгоритм вычисления, упрощения и проверки числовых выражений с арифметическими корнями
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Выражения с корнями вычисляют по общему порядку действий, предварительно проверяя существование корней и упрощая радикалы. Главное — правильно работать с подкоренными выражениями, не раскрывать корень над суммой и сохранять точность вычислений до самого конца.

Что нужно знать о корне

[[root-properties:Арифметический корень]] \(\sqrt{a}\) — неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Поэтому запись \(\sqrt{a}\) имеет смысл в действительных числах только при \(a\ge 0\). Число или выражение под знаком корня называют подкоренным выражением.

D
Определение

Арифметическим квадратным корнем из числа \(a\) называют такое неотрицательное число \(b\), что \(b^2=a\). Обозначение: \(b=\sqrt{a}\). Например, \(\sqrt{25}=5\), а не \(-5\).

T
Основные свойства

При допустимых значениях переменных справедливы равенства: \(\sqrt{a^2}=|a|\); \(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\) при \(a\ge0\), \(b\ge0\); \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\) при \(a\ge0\), \(b>0\).

\[\sqrt{a^2}=|a|\]

Модуль в формуле обязателен: например, \(\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7=|-7|\). Если известно, что \(a\ge0\), можно записать \(\sqrt{a^2}=a\).

Порядок вычисления выражения

Перед вычислением перепишите выражение аккуратно и определите его структуру. Сначала выполняют действия в скобках, затем степени и корни, после этого умножение и деление, а в конце — сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо.

  1. Проверьте условия существования всех корней и знаменателей: подкоренные выражения чётных корней должны быть неотрицательными, знаменатели — ненулевыми.
  2. Вычислите корни из точных квадратов и кубов, если они встречаются.
  3. Упростите каждый радикал: разложите подкоренное число на множители и вынесите полный квадрат из-под корня. Подробный приём разобран на странице [[common-radical-factor:вынесение множителя из-под корня]].
  4. Приведите подобные слагаемые. Корни с одинаковой оставшейся частью под корнем считаются [[radical-like-terms:подобными радикалами]].
  5. Выполните арифметические действия и, если требуется, рационализируйте знаменатель.
T
Важное ограничение

Нельзя распределять квадратный корень по сумме или разности: в общем случае \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\) и \(\sqrt{a-b}\ne\sqrt a-\sqrt b\). Свойство произведения применяется только к произведению неотрицательных множителей.

\[\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\quad\text{в общем случае}\]

Упрощение подкоренного выражения

Чтобы упростить \(\sqrt N\), разложите \(N\) на множители так, чтобы один из них был полным квадратом. Затем примените формулу \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\) и замените корень из полного квадрата его неотрицательным корнем.

\[\sqrt{m^2n}=m\sqrt n\quad (m\ge0,\ n\ge0)\]

Например, \(72=36\cdot2\), поэтому \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2\). Если полный квадрат не выделить, вычисление остановится слишком рано. Для дробных показателей полезны страницы [[root-index:показатель корня]] и [[converting-power-to-root:переход от дробной степени к корню]].

Как быстро найти множитель

Ищите наибольший полный квадрат — \(4\), \(9\), \(16\), \(25\), \(36\), \(49\), \(64\), \(81\), \(100\) и так далее, — который делит подкоренное число. Например, для \(180\) удобно взять \(36\): \(180=36\cdot5\), значит, \(\sqrt{180}=6\sqrt5\).

Разобранный пример

Вычислим выражение \(\frac{\sqrt{75}-\sqrt{12}}{\sqrt3}+\sqrt{18}\). Все подкоренные числа положительны, а знаменатель \(\sqrt3\) не равен нулю, поэтому выражение существует.

1
Разложим подкоренные числа на произведения, содержащие полный квадрат.
\(\displaystyle \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt3,\quad \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3,\quad \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2\)
2
Заменим исходные радикалы найденными равными выражениями.
\(\displaystyle \frac{\sqrt{75}-\sqrt{12}}{\sqrt3}+\sqrt{18}=\frac{5\sqrt3-2\sqrt3}{\sqrt3}+3\sqrt2\)
3
Приведём подобные радикалы в числителе.
\(\displaystyle 5\sqrt3-2\sqrt3=3\sqrt3\)
4
Сократим дробь, так как \(\sqrt3\ne0\).
\(\displaystyle \frac{3\sqrt3}{\sqrt3}+3\sqrt2=3+3\sqrt2\)
5
Запишем результат в стандартном виде.
\(\displaystyle \boxed{3+3\sqrt2}\)
№
Проверка результата

Можно вынести общий множитель: \(3+3\sqrt2=3(1+\sqrt2)\). Приближённо это \(7{,}24\), что удобно для самопроверки исходного выражения на калькуляторе, если он разрешён условиями работы.

Проверь себя

Как правильно упростить выражение \(\sqrt{48}\)?

Действия с радикалами и дробями

Складывать и вычитать можно только подобные радикалы. Например, \(3\sqrt5+2\sqrt5=5\sqrt5\), но \(\sqrt2+\sqrt3\) нельзя объединить в один корень или один радикал. Сначала всегда упрощайте корни: выражения \(\sqrt{12}\) и \(\sqrt{27}\) после преобразования становятся \(2\sqrt3\) и \(3\sqrt3\), поэтому их можно сложить.

\[a\sqrt n+b\sqrt n=(a+b)\sqrt n\]

При умножении перемножают коэффициенты и подкоренные множители: \((a\sqrt m)(b\sqrt n)=ab\sqrt{mn}\). Получившийся корень снова нужно упростить. При делении дробь сокращают после преобразования или рационализируют знаменатель способом, описанным на странице [[rationalizing-simple-denominator:рационализация знаменателя с одним корнем]].

Иногда выражение удобнее переписать через степень: \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac1n}\). Обратное преобразование рассматривается на страницах [[converting-root-to-power:переход от корня к дробной степени]] и [[fractional-exponent-laws:законы дробных степеней]].

!
Частые ошибки

1. Записывать \(\sqrt{a^2}=a\) без условия \(a\ge0\): правильно \(\sqrt{a^2}=|a|\). 2. Считать, что \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\). 3. Выносить из \(\sqrt{50}\) число \(5\), хотя правильно \(\sqrt{50}=5\sqrt2\). 4. Складывать разные радикалы: \(\sqrt2+\sqrt3\ne\sqrt5\). 5. Забывать, что знаменатель не может быть равен нулю. 6. Округлять корни в середине решения и получать неточный ответ.

Алгоритм на экзамене

ОДЗ → порядок действий → разложение подкоренных чисел → вынос полных квадратов → приведение подобных радикалов → вычисление → проверка. Если ответ требуется в точном виде, не заменяйте корни десятичными приближениями.

Условия существования и контроль ответа

Для числового выражения достаточно проверить каждую операцию. Квадратный корень существует, если подкоренное выражение неотрицательно; корень нечётной степени существует при любом действительном подкоренном числе. Если корень находится в знаменателе, его значение должно быть не только определено, но и отлично от нуля. Подробнее условия разобраны на странице [[root-domain-conditions:условия существования корня]].

  • Под каждым квадратным корнем стоит число \(\ge0\).
  • Ни один знаменатель не равен нулю.
  • Все корни упрощены настолько, насколько возможно.
  • Подобные радикалы объединены, а неподобные оставлены раздельно.
  • Приближённая оценка результата не противоречит точному ответу.

Мини-тест

Q
Быстрый тест по теме

Проверьте готовность

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · вычисление корней
Вычислите \(\sqrt{81}-\sqrt{16}\).
Главное за минуту

Главное

  • Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным; арифметический корень всегда неотрицателен.
  • Сначала разложите подкоренные числа и вынесите полные квадраты, затем выполняйте действия.
  • Складывать и вычитать можно только подобные радикалы.
  • Нельзя раскрывать корень над суммой или разностью; для квадрата используется модуль: \(\sqrt{a^2}=|a|\).
  • Рабочая схема: ОДЗ → порядок действий → упрощение корней → подобные слагаемые → точный ответ → проверка.