Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю — это преобразование дробей с помощью основного свойства дроби так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. После этого дроби можно складывать или вычитать, как обычные дроби.
Основная формула
Чтобы выбрать общий знаменатель, сначала разложите знаменатели на множители, если это возможно. Затем возьмите каждый множитель в наибольшей встречающейся степени. Часто удобно использовать произведение знаменателей, но оно может оказаться не наименьшим.
Приведём дроби \(\frac{3}{x}\) и \(\frac{2}{x+1}\) к общему знаменателю. Общий знаменатель — \(x(x+1)\), причём \(x\ne0\) и \(x\ne-1\). Первую дробь домножаем на \(x+1\), вторую — на \(x\):\(\frac{3}{x}=\frac{3(x+1)}{x(x+1)}\), \(\frac{2}{x+1}=\frac{2x}{x(x+1)}\). Теперь их можно сложить в соответствии с правилами сложения и вычитания алгебраических дробей.
Общий знаменатель не получают сложением знаменателей: для \(\frac{1}{x}\) и \(\frac{1}{x+1}\) нельзя брать \(2x+1\). Кроме того, после выбора знаменателя нужно учитывать ограничения: исходные знаменатели не должны обращаться в ноль.
Какой общий знаменатель подойдёт для дробей \(\frac{1}{x-2}\) и \(\frac{3}{x+2}\)?
Главное
- Общий знаменатель должен делиться на каждый исходный знаменатель.
- Каждую дробь домножают только на недостающий множитель, сохраняя её значение.
- Перед преобразованиями записывают ограничения на переменные: знаменатели не равны нулю.